Matematikk 1T — Vår 2010

Løsningsforslag (Del 1 og Del 2) · MAT1013 · Vår 2010 · K06 · ✓ Sammenholdt m/ matematikk.net · Uoffisielt

Om dette løsningsforslaget. Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Oppgaveteksten er ikke gjengitt i sin helhet; hver oppgave vises med nummer og et kort sammendrag. Kilde: oppgaven og matematikk.net sitt løsningsforslag. Sluttsvar er sammenholdt med matematikk.net sin versjon — se den ved tvil.

DEL 1 — Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (20 poeng)

a)

Oppgave. f(x) = -2x + 3. Tegn grafen og finn nullpunktet.

Løsning. f er en rett linje med stigningstall -2 og konstantledd 3 (skjærer y-aksen i (0,3)). Grafen tegnes ved hjelp av to punkter, f.eks. (0,3) og (1,1).

Nullpunktet er der f(x) = 0:

-2x + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{3}{2}.

\boxed{\,x = \tfrac{3}{2} = 1{,}5\,}

Grafen er en fallende rett linje som skjærer x-aksen i (1{,}5,\,0) og y-aksen i (0,\,3).

b)

Oppgave. Løs likningen x^2 + 8x = -15.

Løsning. Flytt alt over på én side: x^2 + 8x + 15 = 0. Abc-formelen gir

x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{-8 \pm 2}{2},

så x = -3 eller x = -5.

\boxed{\,x = -5 \quad \text{eller} \quad x = -3\,}

c)

Oppgave. Regn ut 5 - 2^4 \cdot (4-3)^3 \cdot 2^{-3}.

Løsning. Regn parentes og potenser først:

(4-3)^3 = 1^3 = 1, \qquad 2^4 \cdot 2^{-3} = 2^{4-3} = 2^1 = 2.

Dermed

5 - 2 \cdot 1 = 5 - 2 = \boxed{3}.

d)

Oppgave. Forenkle \dfrac{4a^{1/3}\cdot a^{1/2}}{2a^{-1/6}}.

Løsning. Samle koeffisienter og potenser hver for seg. Tallene gir \tfrac{4}{2} = 2. For potensene legger vi sammen eksponentene i telleren og trekker fra eksponenten i nevneren:

\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1.

\boxed{\,2a\,}

e)

Oppgave. f(x) = -2x^3 + 8x + 4. Finn likningen for tangenten i (1, f(1)).

Løsning. Funksjonsverdien i x = 1:

f(1) = -2 + 8 + 4 = 10.

Den deriverte er f'(x) = -6x^2 + 8, så stigningstallet i x = 1 er

f'(1) = -6 + 8 = 2.

Tangenten med stigningstall 2 gjennom (1, 10):

y - 10 = 2(x - 1) \;\Longrightarrow\; y = 2x + 8.

\boxed{\,y = 2x + 8\,}

f)

Oppgave. Faktoriser og forkort \dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}.

Løsning. Telleren er en konjugatsetning, nevneren et fullstendig kvadrat:

x^2 - 9 = (x-3)(x+3), \qquad x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2.

\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2} = \boxed{\dfrac{x-3}{x+3}} \qquad (x \neq -3).

g)

Oppgave. Løs likningen \lg(2x + 4) = 3\lg 2.

Løsning. Bruk logaritmeregelen 3\lg 2 = \lg 2^3 = \lg 8:

\lg(2x + 4) = \lg 8.

Siden \lg er en-til-en, må argumentene være like:

2x + 4 = 8 \;\Longrightarrow\; 2x = 4 \;\Longrightarrow\; x = 2.

Kontroll: 2x + 4 = 8 > 0, så løsningen er gyldig.

\boxed{\,x = 2\,}

h)

Oppgave. Et lykkehjul har fem fargefelt. Ut fra figuren er feltene fordelt slik: blått \tfrac{3}{8}, grønt \tfrac{2}{8}, gult \tfrac{1}{8}, og rødt og lilla \tfrac{1}{8} hver. 1) Sannsynlighet for blått eller grønt ved én snurr. 2) Sannsynlighet for én gang gult og én gang grønt ved to snurr.

1) Blått og grønt er hendelser som ikke kan inntreffe samtidig (et felt om gangen), så vi adderer:

P(\text{blå eller grønn}) = P(B) + P(Gr) = \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8} = \boxed{0{,}625 = 62{,}5\,\%}.

2) Vi vil ha én gul og én grønn på to snurr. Rekkefølgen kan være gul-så-grønn eller grønn-så-gul, og snurrene er uavhengige:

P = P(Gul)\cdot P(Gr) + P(Gr)\cdot P(Gul) = \frac{1}{8}\cdot\frac{2}{8} + \frac{2}{8}\cdot\frac{1}{8} = \frac{4}{64} = \boxed{\dfrac{1}{16}}.

i)

Oppgave. I trekant ABC er \angle A = 90^\circ, AB = 4 cm og \sin B = \cos B. Forklar hvordan trekanten må se ut, og lag en figur.

Løsning. Likningen \sin B = \cos B gir \tan B = 1, altså B = 45^\circ. Vinkelsummen i trekanten er 180^\circ, så

\angle C = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ.

Trekanten er dermed rettvinklet og likebeint, med den rette vinkelen i A og to like store spisse vinkler (45^\circ). De to katetene er like lange, så AC = AB = 4 cm. Hypotenusen blir, med Pytagoras,

BC = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ cm}.

\boxed{\text{Rettvinklet, likebeint trekant med } AB = AC = 4\text{ cm og } BC = 4\sqrt2 \text{ cm}}

Figur (skisse): En rettvinklet trekant med den rette vinkelen i A nederst til venstre, B rett til høyre (én katet) og C rett opp (den andre kateten), begge kateter 4 cm, og hypotenusen BC = 4\sqrt2 cm på skrå.

Oppgave 2 (4 poeng)

Oppgave. Grafen til en andregradsfunksjon g har nullpunkter i (-2, 0) og (2, 0), og skjærer y-aksen i (0, -4) (som også er bunnpunktet). a) Tegn fortegnslinje for g(x) og for g'(x). b) Finn funksjonsuttrykket.

b) Funksjonsuttrykk

Når vi kjenner nullpunktene x = -2 og x = 2, kan vi skrive

g(x) = a(x + 2)(x - 2) = a(x^2 - 4).

Punktet (0, -4) ligger på grafen:

g(0) = a(0 - 4) = -4a = -4 \;\Longrightarrow\; a = 1.

\boxed{\,g(x) = x^2 - 4\,}

a) Fortegnslinjer

Fortegnslinje for g(x) = x^2 - 4 = (x-2)(x+2): Parabelen åpner oppover med nullpunkter x = -2 og x = 2.

g(x): \quad \underbrace{+}_{x<-2} \quad 0 \;(x=-2)\quad \underbrace{-}_{-2<x<2} \quad 0\;(x=2) \quad \underbrace{+}_{x>2}

Fortegnslinje for g'(x) = 2x: Den deriverte er null i x = 0 (bunnpunktet).

g'(x): \quad \underbrace{-}_{x<0} \quad 0\;(x=0) \quad \underbrace{+}_{x>0}

Tolkning: g avtar for x < 0 og vokser for x > 0, med bunnpunkt i (0, -4).

DEL 2 — Med hjelpemidler

Oppgave 3 (8 poeng)

Oppgave. Firkant ABCD med \angle D = 90^\circ (i D), DC = 5{,}0 m, DA = 3{,}0 m, \angle A = 100^\circ (i A), \angle C = 120^\circ (i C) og CB = 5{,}0 m. a) Finn AC. b) Finn BD. c) Finn arealet av firkanten på to måter.

a) Avstanden AC

Trekant ACD er rettvinklet i D med kateter DA = 3{,}0 og DC = 5{,}0. Pytagoras gir

AC = \sqrt{DA^2 + DC^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34} \approx \boxed{5{,}83 \text{ m}}.

b) Avstanden BD

Trekant BCD har sidene DC = 5{,}0 og CB = 5{,}0 med mellomliggende vinkel \angle C = 120^\circ. Cosinussetningen:

BD^2 = DC^2 + CB^2 - 2\cdot DC \cdot CB \cdot \cos 120^\circ = 25 + 25 - 2\cdot 25\cdot\left(-\tfrac12\right) = 75,

BD = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \approx \boxed{8{,}66 \text{ m}}.

c) Arealet av firkant ABCD

1) Ove sin måte (trekant ABD + trekant BCD).

Trekant BCD er likebeint (DC = CB = 5) med toppvinkel \angle C = 120^\circ, så de to grunnvinklene er \tfrac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ. Dermed er \angle BDC = 30^\circ. Arealet:

A_{BCD} = \tfrac12\cdot DC \cdot CB \cdot \sin 120^\circ = \tfrac12\cdot 5\cdot 5\cdot \frac{\sqrt3}{2} \approx 10{,}83 \text{ m}^2.

I trekant ABD er vinkelen i D lik \angle ADB = \angle ADC - \angle BDC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ. Sidene om denne vinkelen er DA = 3 og BD = 5\sqrt3:

A_{ABD} = \tfrac12\cdot DA \cdot BD \cdot \sin 60^\circ = \tfrac12\cdot 3\cdot 5\sqrt3\cdot \frac{\sqrt3}{2} = \frac{45}{4} = 11{,}25 \text{ m}^2.

Samlet:

A_{ABCD} = A_{ABD} + A_{BCD} \approx 11{,}25 + 10{,}83 = \boxed{22{,}1 \text{ m}^2}.

2) Tommy sin måte (trekant ABC + trekant ACD).

Trekant ACD er rettvinklet i D:

A_{ACD} = \tfrac12\cdot DA \cdot DC = \tfrac12\cdot 3\cdot 5 = 7{,}5 \text{ m}^2.

For trekant ABC trenger vi vinkelen \angle ACB = \angle DCB - \angle DCA. I rettvinklet trekant ACD er

\angle DCA = \tan^{-1}\!\left(\frac{DA}{DC}\right) = \tan^{-1}\!\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30{,}96^\circ,

så \angle ACB \approx 120^\circ - 30{,}96^\circ = 89{,}04^\circ. Med AC = \sqrt{34} og CB = 5:

A_{ABC} = \tfrac12\cdot AC \cdot CB \cdot \sin(\angle ACB) \approx \tfrac12\cdot 5{,}83\cdot 5\cdot \sin 89{,}04^\circ \approx 14{,}58 \text{ m}^2.

Samlet:

A_{ABCD} = A_{ABC} + A_{ACD} \approx 14{,}58 + 7{,}5 = \boxed{22{,}1 \text{ m}^2}.

Begge metoder gir samme svar, ca. 22{,}1 m². Ove sin måte er enklere fordi den unngår omveien om vinkelen \angle ACB.

Oppgave 4 (6 poeng)

Oppgave. Arne sykler først en halv time i 12 km/t, så en halv time i 18 km/t. a) Hvor langt etter 45 minutter? b) Tegn graf for kjørt distanse y (km) etter x minutter. c) Finn de to funksjonsuttrykkene med gyldighetsområder.

a) Etter 45 minutter

De første 30 minuttene (0{,}5 t) i 12 km/t gir 12 \cdot 0{,}5 = 6 km. De neste 15 minuttene (0{,}25 t) i 18 km/t gir 18\cdot 0{,}25 = 4{,}5 km.

\text{Strekning} = 6 + 4{,}5 = \boxed{10{,}5 \text{ km}}.

b) Graf

Grafen er en knekket linje (en stykkevis lineær funksjon): - fra (0, 0) til (30, 6): en rett linje med slak stigning, - fra (30, 6) til (60, 15): en rett linje med brattere stigning.

Knekken i x = 30 markerer fartsøkningen fra 12 til 18 km/t.

c) Funksjonsuttrykk

Distansen i km når farten er konstant v km/t og tiden er x minutter, er y = v\cdot \tfrac{x}{60}.

Første intervall 0 \le x \le 30: fart 12 km/t:

y = 12\cdot\frac{x}{60} = 0{,}2x.

Andre intervall 30 < x \le 60: ved x = 30 er y = 6, og farten er nå 18 km/t:

y = 6 + 18\cdot\frac{x - 30}{60} = 6 + 0{,}3(x - 30) = 0{,}3x - 3.

\boxed{\,y = 0{,}2x \;\text{ for } 0 \le x \le 30, \qquad y = 0{,}3x - 3 \;\text{ for } 30 < x \le 60\,}

Kontroll: x = 45 gir y = 0{,}3\cdot 45 - 3 = 10{,}5 km, i samsvar med a).

Oppgave 5 (6 poeng)

Oppgave. I aldersgruppen 15–29 år bruker 14{,}3\,\% bare briller, 7{,}2\,\% bare kontaktlinser, og 9{,}7\,\% både briller og kontaktlinser. a) Lag en systematisk oppstilling. b) Sannsynligheten for at en tilfeldig person ikke bruker briller. c) Gitt at en person bruker briller, sannsynligheten for at vedkommende også bruker kontaktlinser.

a) Systematisk oppstilling

Vi setter opp en krysstabell (prosent av hele gruppen). La “Briller” / “Ikke briller” stå i radene og “Linser” / “Ikke linser” i kolonnene.

	Linser	Ikke linser	Sum
Briller	9{,}7	14{,}3	24{,}0
Ikke briller	7{,}2	68{,}8	76{,}0
Sum	16{,}9	83{,}1	100{,}0

Forklaring: “bare briller” = 14{,}3 (briller, ikke linser), “bare linser” = 7{,}2 (linser, ikke briller), “begge” = 9{,}7. Resten, 100 - (14{,}3 + 7{,}2 + 9{,}7) = 68{,}8\,\%, bruker verken briller eller linser.

b) Ikke bruker briller

Andelen som bruker briller (bare briller + begge) er 14{,}3 + 9{,}7 = 24{,}0\,\%. Da er

P(\text{ikke briller}) = 1 - 0{,}24 = \boxed{0{,}76 = 76\,\%}.

c) Betinget sannsynlighet

Vi spør om P(\text{linser} \mid \text{briller}). Av alle som bruker briller (24{,}0\,\%) er det 9{,}7\,\% som også bruker linser:

P(\text{linser} \mid \text{briller}) = \frac{P(\text{briller og linser})}{P(\text{briller})} = \frac{9{,}7}{24{,}0} \approx \boxed{0{,}404 = 40{,}4\,\%}.

Oppgave 6 (8 poeng)

Oppgave. f(x) = 0{,}5x^2 - 2x. a) Tegn grafen for -3 \le x \le 7. b) Finn nullpunkter og bunnpunkt ved regning. c) Finn stigningstallet for tangenten i (1, f(1)). d) Finn likningen for tangenten med stigningstall 1.

a) Graf

Grafen er en parabel som åpner oppover (positiv x^2-koeffisient). Den går gjennom nullpunktene (0,0) og (4,0), har bunnpunkt (2, -2) og endepunkter f(-3) = 0{,}5\cdot 9 + 6 = 10{,}5 og f(7) = 0{,}5\cdot 49 - 14 = 10{,}5 i det oppgitte intervallet.

b) Nullpunkter og bunnpunkt

Nullpunkter: f(x) = 0:

0{,}5x^2 - 2x = 0 \;\Longrightarrow\; x(0{,}5x - 2) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \;\text{eller}\; x = 4.

\boxed{x = 0 \;\text{og}\; x = 4}

Bunnpunkt: Toppunktets x-verdi ligger der f'(x) = 0. Med f'(x) = x - 2:

x - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2, \qquad f(2) = 0{,}5\cdot 4 - 4 = -2.

\boxed{\text{Bunnpunkt } (2,\, -2)}

c) Stigningstall i x = 1

f'(1) = 1 - 2 = \boxed{-1}.

d) Tangent med stigningstall 1

Vi finner først hvor f'(x) = 1:

x - 2 = 1 \;\Longrightarrow\; x = 3, \qquad f(3) = 0{,}5\cdot 9 - 6 = -1{,}5.

Tangenten gjennom (3, -1{,}5) med stigningstall 1:

y - (-1{,}5) = 1\cdot(x - 3) \;\Longrightarrow\; y = x - 4{,}5.

\boxed{\,y = x - 4{,}5\,}

Oppgave 7 (8 poeng)

I denne oppgaven skal eleven velge enten Alternativ I eller Alternativ II. Begge teller likt. Her løses begge for fullstendighetens skyld.

Alternativ I

Oppgave. Likningssystemet 2y - x^2 + 2x = a og y - 2x = 3. a) Sett a = 6 og løs (1) ved regning, (2) grafisk. b) Hvilken a gir at x = 1, y = 5 er en løsning? c) For hvilke a har systemet én, to eller ingen løsning?

a) Med a = 6

1) Ved regning. Fra den andre likningen: y = 2x + 3. Sett inn i den første (a = 6):

2(2x + 3) - x^2 + 2x = 6 \;\Longrightarrow\; 4x + 6 - x^2 + 2x = 6 \;\Longrightarrow\; -x^2 + 6x = 0.

Det gir x(x - 6) = 0, altså x = 0 eller x = 6. Med y = 2x + 3:

x = 0 \Rightarrow y = 3
x = 6 \Rightarrow y = 15

\boxed{(0,\,3) \quad \text{og} \quad (6,\,15)}

2) Grafisk. Skriv begge likningene som funksjoner av x. Den første blir y = \tfrac12(x^2 - 2x + 6) = 0{,}5x^2 - x + 3 (en parabel), den andre y = 2x + 3 (en rett linje). Tegnet i samme koordinatsystem skjærer de hverandre i (0, 3) og (6, 15), i samsvar med regningen.

b) Hvilken a gir løsningen (1, 5)?

Sett x = 1 og y = 5 inn i den første likningen (den andre, y - 2x = 5 - 2 = 3, er allerede oppfylt):

a = 2\cdot 5 - 1^2 + 2\cdot 1 = 10 - 1 + 2 = 11.

\boxed{\,a = 11\,}

c) Antall løsninger

Innsetting av y = 2x + 3 i den første likningen gir generelt

2(2x + 3) - x^2 + 2x = a \;\Longrightarrow\; -x^2 + 6x + 6 - a = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 - 6x + (a - 6) = 0.

Antall løsninger bestemmes av diskriminanten D = (-6)^2 - 4(a - 6) = 36 - 4a + 24 = 60 - 4a.

To løsninger (D > 0): 60 - 4a > 0 \Rightarrow a < 15.
Én løsning (D = 0): 60 - 4a = 0 \Rightarrow a = 15.
Ingen løsning (D < 0): 60 - 4a < 0 \Rightarrow a > 15.

\boxed{\,a < 15:\ \text{to løsninger},\quad a = 15:\ \text{én løsning},\quad a > 15:\ \text{ingen løsning}\,}

Alternativ II

Oppgave. Et hus har form som figuren: en stor del og en mindre utbygging, med mål uttrykt ved a (en lengde 10, en lengde 2a, en lengde a). a) Forklar at arealet er A(a) = 30a - 2a^2, og regn ut A(5). b) For hvilke a er arealet 112 m^2? c) Største mulige areal? d) For hvilke a er arealet større enn 72 m^2?

a) Areal og A(5)

Huset er en “L-form” som vi deler i to deler. Den brede nederste delen er et rektangel med bredde 2a + a = 3a og høyde 10 - a, mens den smale utbygningen øverst til høyre er et kvadrat med side a:

A(a) = \underbrace{3a\,(10 - a)}_{\text{nederste rektangel}} + \underbrace{a^2}_{\text{kvadrat}} = 30a - 3a^2 + a^2 = 30a - 2a^2.

Det er nettopp uttrykket som skulle vises. Siden den nederste delen har høyden 10 - a, må vi ha 10 - a > 0, så definisjonsmengden er 0 < a < 10.

Innsatt a = 5:

A(5) = 30\cdot 5 - 2\cdot 5^2 = 150 - 50 = \boxed{100 \text{ m}^2}.

(Kontroll med oppdelingen: nederst 3\cdot 5\cdot(10-5) = 75, kvadratet 5^2 = 25, sum 100. ✓)

b) Areal 112 m^2

30a - 2a^2 = 112 \;\Longrightarrow\; 2a^2 - 30a + 112 = 0 \;\Longrightarrow\; a^2 - 15a + 56 = 0.

Abc-formelen:

a = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 224}}{2} = \frac{15 \pm 1}{2} \;\Longrightarrow\; a = 7 \;\text{eller}\; a = 8.

\boxed{\,a = 7 \text{ m} \quad \text{eller} \quad a = 8 \text{ m}\,}

c) Største areal

A(a) = -2a^2 + 30a er en parabel som åpner nedover; maksimum er i toppunktet:

a = \frac{-30}{2\cdot(-2)} = \frac{30}{4} = 7{,}5 \text{ m}, \qquad A(7{,}5) = 30\cdot 7{,}5 - 2\cdot 7{,}5^2 = 225 - 112{,}5 = 112{,}5.

\boxed{\text{Størst areal er } 112{,}5 \text{ m}^2 \text{ (når } a = 7{,}5 \text{ m)}}

d) Areal større enn 72 m^2

30a - 2a^2 > 72 \;\Longrightarrow\; -2a^2 + 30a - 72 > 0 \;\Longrightarrow\; a^2 - 15a + 36 < 0.

Nullpunkter: a = \dfrac{15 \pm \sqrt{225 - 144}}{2} = \dfrac{15 \pm 9}{2}, altså a = 3 og a = 12. Siden parabelen a^2 - 15a + 36 åpner oppover, er den negativ mellom nullpunktene, dvs. 3 < a < 12. Vi må i tillegg ta hensyn til definisjonsmengden 0 < a < 10 fra a). Snittet blir:

\boxed{\,3 \text{ m} < a < 10 \text{ m}\,}

Tillegg: kontrollprogram for Oppgave 7 (areal av huset)

Selv om Del 2 ikke har en egen programmeringsoppgave, kan vi kontrollere svarene i Alternativ II med et lite program som søker etter a-verdiene der arealet er 112 m^2 og finner det største arealet.

Python:

def A(a):
    return 30 * a - 2 * a**2

# Finn a slik at A(a) = 112 (heltallssjekk)
for a in range(0, 16):
    if abs(A(a) - 112) < 1e-9:
        print("A(a)=112 for a =", a)   # a = 7 og a = 8

# Største areal (finmasket søk)
best_a = max((x / 100 for x in range(0, 1501)), key=A)
print("Maks areal:", A(best_a), "for a =", best_a)  # 112.5 for a = 7.5

C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
double A(double a) { return 30 * a - 2 * a * a; }
int main() {
    for (int a = 0; a <= 15; ++a)
        if (std::fabs(A(a) - 112) < 1e-9)
            std::cout << "A(a)=112 for a = " << a << "\n";  // a = 7 og a = 8
    double bestA = 0, bestVal = -1e9;
    for (int i = 0; i <= 1500; ++i) {
        double a = i / 100.0;
        if (A(a) > bestVal) { bestVal = A(a); bestA = a; }
    }
    std::cout << "Maks areal: " << bestVal << " for a = " << bestA << "\n"; // 112.5 for a = 7.5
    return 0;
}

Begge programmene gir a = 7 og a = 8 for areal 112 m^2, og største areal 112{,}5 m^2 ved a = 7{,}5 m — i samsvar med regningen over.

Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Kilde og fasit: matematikk.net. Ikke tilknyttet Utdanningsdirektoratet.