Matematikk 1T — Høst 2009 (eksempel)
Om dette løsningsforslaget. Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Oppgaveteksten er ikke gjengitt i sin helhet; hver oppgave vises med nummer og et kort sammendrag. Kilde: oppgaven og matematikk.net sitt løsningsforslag. Sluttsvar er sammenholdt med matematikk.net sin versjon — se den ved tvil.
DEL 1 — Uten hjelpemidler
Oppgave 1 (22 poeng)
a) Pris på fotball og hockeykølle
Oppgave. Av to bilder leser vi: 1 fotball + 1 hockeykølle = 500 kr, og 3 fotballer + 2 hockeykøller = 1200 kr. Finn prisen på hver gjenstand.
Løsning. La b være prisen på en fotball og s prisen på en hockeykølle. Da er
\begin{aligned} b + s &= 500\\ 3b + 2s &= 1200 \end{aligned}
Fra den første likningen er s = 500 - b. Sett inn i den andre:
3b + 2(500 - b) = 1200 \;\Longrightarrow\; b + 1000 = 1200 \;\Longrightarrow\; b = 200.
Da blir s = 500 - 200 = 300.
\boxed{\text{Fotball: } 200 \text{ kr}, \quad \text{hockeykølle: } 300 \text{ kr}}
b) Standardform
Oppgave. Regn ut 6{,}2 \cdot 10^4 \cdot 2{,}5 \cdot 10^8 og skriv svaret på standardform.
Løsning. Vi multipliserer tallene og legger sammen eksponentene:
6{,}2 \cdot 2{,}5 = 15{,}5, \qquad 10^4 \cdot 10^8 = 10^{12}.
6{,}2 \cdot 10^4 \cdot 2{,}5 \cdot 10^8 = 15{,}5 \cdot 10^{12} = \boxed{1{,}55 \cdot 10^{13}}.
c) Lineær likning
Oppgave. Løs 4(x-1) = 5 + 3x - (x-1).
Løsning.
4x - 4 = 5 + 3x - x + 1 = 2x + 6.
4x - 2x = 6 + 4 \;\Longrightarrow\; 2x = 10 \;\Longrightarrow\; \boxed{x = 5}.
d) Logaritmelikning
Oppgave. Løs 3\lg x = -6 og skriv svaret som et desimaltall.
Løsning. Del på 3:
\lg x = -2 \;\Longrightarrow\; x = 10^{-2} = \boxed{0{,}01}.
e) Regn ut
Oppgave. Regn ut 5 - 4^2 \cdot (4-3)^3 \cdot 2^{-3}.
Løsning. Vi følger regnerekkefølgen (potenser før multiplikasjon):
4^2 = 16, \quad (4-3)^3 = 1^3 = 1, \quad 2^{-3} = \tfrac18.
5 - 16 \cdot 1 \cdot \tfrac18 = 5 - 2 = \boxed{3}.
f) Forenkle
Oppgave. Skriv \dfrac{(x+y)^2 - 4xy}{x-y} så enkelt som mulig.
Løsning. Utvid telleren med kvadratsetningen:
(x+y)^2 - 4xy = x^2 + 2xy + y^2 - 4xy = x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2.
Da forkortes brøken:
\frac{(x-y)^2}{x-y} = \boxed{\,x - y\,} \qquad (x \neq y).
g) Andregradslikning
Oppgave. Løs x^2 - 5x + 6 = 0.
Løsning. Vi faktoriserer ved å finne to tall med produkt 6 og sum 5, nemlig 2 og 3:
x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 \;\Longrightarrow\; \boxed{x = 2 \;\text{eller}\; x = 3}.
h) Sannsynlighet — akkurat én sekser
Oppgave. Du kaster to terninger. Hva er sannsynligheten for å få akkurat én sekser?
Løsning. Det er 6 \cdot 6 = 36 like sannsynlige utfall. «Akkurat én sekser» betyr at den ene terningen viser 6 og den andre noe annet enn 6. Antall gunstige:
- sekser på terning 1, ikke-sekser på terning 2: 1 \cdot 5 = 5 utfall,
- ikke-sekser på terning 1, sekser på terning 2: 5 \cdot 1 = 5 utfall.
Til sammen 5 + 5 = 10 gunstige utfall, så
P = \frac{10}{36} = \boxed{\frac{5}{18} \approx 0{,}28}.
i) Stigningstall til tangenten
Oppgave. f(x) = x^3 - 5x^2 + 6x. Finn stigningstallet til tangenten i punktet (1, f(1)).
Løsning. Stigningstallet til tangenten er f'(1). Vi deriverer:
f'(x) = 3x^2 - 10x + 6.
f'(1) = 3 - 10 + 6 = \boxed{-1}.
j) Skisse av graf fra fortegnsskjema
Oppgave. Et fortegnsskjema viser hvordan g(x) og g'(x) varierer med merkene -3,\ 2,\ 4,\ 7. Skisser hvordan grafen til g kan se ut.
Tolkning av skjemaet. Vi leser av:
- g'(x): negativ for x < 2, lik null i x = 2, positiv for 2 < x < 7, lik null i x = 7. (Definert fra x = -3.)
- g(x): negativ for x < 4, lik null i x = 4, positiv for x > 4.
Hva forteller dette om grafen?
- g'(x) = 0 i x = 2 med fortegnsskift fra - til +: grafen har et bunnpunkt i x = 2 (vannrett tangent, minimum).
- g'(x) = 0 i x = 7 med fortegnsskift fra + til …: grafen har vannrett tangent (et toppunkt) i x = 7.
- g(x) = 0 i x = 4: grafen skjærer x-aksen i x = 4 (fra negativ til positiv).
Skisse. Grafen kommer fra venstre (fra x = -3) og synker fram til bunnpunktet i x = 2 (der den er negativ). Deretter stiger den, krysser x-aksen i x = 4, fortsetter opp til et toppunkt i x = 7, og synker svakt etter det.
\boxed{\text{Bunnpunkt i } x = 2,\ \text{nullpunkt i } x = 4,\ \text{toppunkt i } x = 7.}
Konsistenssjekk: nullpunktene til g gir der grafen krysser x-aksen (x=4), mens nullpunktene til g' gir vannrette tangenter (x=2 og x=7). Skissen stemmer med begge radene.
k) Trekant med \angle B = 90^\circ og \tan A = 1
Oppgave. I trekant ABC er \angle B = 90^\circ og \tan A = 1. Lag en figur og forklar hvordan trekanten kan se ut.
Løsning. Med rett vinkel i B er
\tan A = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}} = \frac{BC}{AB} = 1 \;\Longrightarrow\; BC = AB.
De to katetene er altså like lange. Da blir de spisse vinklene like store, og siden de til sammen utgjør 90^\circ:
\angle A = \angle C = 45^\circ.
Trekanten er en likebeint, rettvinklet trekant (en «halv kvadrat»). Et eksempel er AB = BC = 1 med hypotenus AC = \sqrt2.
\boxed{\angle A = \angle C = 45^\circ, \quad \angle B = 90^\circ, \quad AB = BC}
DEL 2 — Med hjelpemidler
Oppgave 2 (10 poeng)
Oppgave. f(x) = \dfrac{2x}{x-1}. a) Tegn grafen for x \in [-10, 10]. b) Finn definisjons- og verdimengde. c) En lineær funksjon g går gjennom (-2, 0) og (3, 5) — finn g(x) og tegn i samme system. d) Løs f(x) = g(x) med to ulike metoder.
a) Grafen til f
Vi skriver om f ved polynomdivisjon for å se asymptotene:
f(x) = \frac{2x}{x-1} = \frac{2(x-1) + 2}{x-1} = 2 + \frac{2}{x-1}.
Grafen er en hyperbel med vertikal asymptote x = 1 og horisontal asymptote y = 2. Den skjærer aksene i origo (f(0) = 0). For x \in [-10, 10] tegnes en gren under/venstre for (1, 2) og en gren over/høyre for (1, 2).
b) Definisjonsmengde og verdimengde
Nevneren x - 1 er null for x = 1, så
D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} = \langle\leftarrow, 1\rangle \cup \langle 1, \rightarrow\rangle.
Siden \dfrac{2}{x-1} \neq 0 for alle x, kan f aldri bli nøyaktig 2:
\boxed{D_f = \mathbb{R}\setminus\{1\}, \qquad V_f = \mathbb{R}\setminus\{2\}}
c) Den lineære funksjonen g
Stigningstallet gjennom (-2, 0) og (3, 5):
a = \frac{5 - 0}{3 - (-2)} = \frac{5}{5} = 1.
Med g(x) = x + b og g(-2) = 0: \;-2 + b = 0 \Rightarrow b = 2.
\boxed{g(x) = x + 2}
Linjen går gjennom (-2, 0) og (3, 5) og tegnes i samme koordinatsystem som f.
d) Løs f(x) = g(x) med to metoder
Metode 1 — grafisk. Skjæringspunktene mellom hyperbelen og linjen avleses til x = -1 og x = 2 (punktene (-1, 1) og (2, 4)).
Metode 2 — ved regning.
\frac{2x}{x-1} = x + 2.
Vi multipliserer med x - 1 (og krever x \neq 1):
2x = (x+2)(x-1) = x^2 + x - 2.
0 = x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) \;\Longrightarrow\; x = 2 \;\text{eller}\; x = -1.
Begge ligger i D_f.
\boxed{x = -1 \;\text{og}\; x = 2}
Oppgave 3 (8 poeng)
Oppgave. Mosjonsløypa følger omkretsen til firkant ABCD. Gitt: AB = 761 m, DA = 362 m, DC = 498 m, \angle ADC = 95^\circ og \angle BCD = 139^\circ. a) Vis at diagonalen AC \approx 641 m. b) Finn \angle DCA. c) Finn \angle B. d) Hvor lang er hele løypa?
a) Diagonalen AC
I trekant ACD kjenner vi DA = 362, DC = 498 og mellomliggende vinkel \angle ADC = 95^\circ. Cosinussetningen gir
AC^2 = DA^2 + DC^2 - 2\cdot DA \cdot DC \cdot \cos(\angle ADC).
AC^2 = 362^2 + 498^2 - 2\cdot 362 \cdot 498 \cdot \cos 95^\circ = 131044 + 248004 - 360552\cos 95^\circ.
Med \cos 95^\circ \approx -0{,}0872 blir -360552\cos95^\circ \approx 31\,420, så
AC^2 \approx 410\,468 \;\Longrightarrow\; AC \approx \boxed{641 \text{ m}}.
b) Vinkel \angle DCA
Vi bruker sinussetningen i trekant ACD:
\frac{\sin(\angle DCA)}{DA} = \frac{\sin(\angle ADC)}{AC} \;\Longrightarrow\; \sin(\angle DCA) = \frac{362 \cdot \sin 95^\circ}{640{,}7} \approx 0{,}5628.
\angle DCA \approx \boxed{34{,}3^\circ}.
c) Vinkel B
Hele vinkelen ved C i firkanten er \angle BCD = 139^\circ, og denne er delt av diagonalen AC i \angle DCA og \angle ACB:
\angle ACB = 139^\circ - 34{,}3^\circ = 104{,}7^\circ.
I trekant ABC kjenner vi nå AB = 761, AC \approx 640{,}7 og \angle ACB \approx 104{,}7^\circ. Sinussetningen gir
\frac{\sin B}{AC} = \frac{\sin(\angle ACB)}{AB} \;\Longrightarrow\; \sin B = \frac{640{,}7 \cdot \sin 104{,}7^\circ}{761} \approx 0{,}8141.
\angle B \approx \boxed{54{,}5^\circ}.
d) Lengden av hele løypa
Vi mangler bare BC. I trekant ABC er \angle BAC = 180^\circ - 104{,}7^\circ - 54{,}5^\circ = 20{,}8^\circ. Sinussetningen:
BC = \frac{AB \cdot \sin(\angle BAC)}{\sin(\angle ACB)} = \frac{761 \cdot \sin 20{,}8^\circ}{\sin 104{,}7^\circ} \approx 279 \text{ m}.
Omkretsen (løypa) er AB + BC + CD + DA:
O = 761 + 279 + 498 + 362 = \boxed{1900 \text{ m}}.
Oppgave 4 (8 poeng)
Oppgave. Klasse 1A: 30 elever, 12 har kjemi, 21 har matematikk, 7 har begge. a) Venndiagram — hvor mange har verken? b) P(\text{matematikk, men ikke kjemi}). c) To tilfeldige elever — P(\text{begge har matematikk}). d) Klasse 1B har 4 matematikkelever; P(\text{begge av to trukne har matematikk}) = 0{,}05. Hvor mange elever er i 1B?
a) Venndiagram og «verken»
- Bare kjemi: 12 - 7 = 5
- Bare matematikk: 21 - 7 = 14
- Begge: 7
- Verken: 30 - (5 + 7 + 14) = 30 - 26 = 4
Et venndiagram med to overlappende sirkler (Matematikk og Kjemi) har 14 i bare-matte-feltet, 5 i bare-kjemi-feltet, 7 i snittet og 4 utenfor begge sirklene.
\boxed{4 \text{ elever har verken matematikk eller kjemi}}
b) P(matematikk, men ikke kjemi)
14 av 30 har matematikk uten kjemi:
P = \frac{14}{30} = \boxed{\frac{7}{15} \approx 0{,}47}.
c) Begge av to trukne har matematikk
21 av 30 har matematikk. Vi trekker uten tilbakelegging:
P = \frac{21}{30}\cdot\frac{20}{29} = \frac{420}{870} = \boxed{\frac{14}{29} \approx 0{,}48}.
d) Antall elever i klasse 1B
La n være antall elever i 1B. Med 4 matematikkelever er sannsynligheten for to matematikkelever ved trekking uten tilbakelegging
\frac{4}{n}\cdot\frac{3}{n-1} = 0{,}05.
\frac{12}{n(n-1)} = 0{,}05 \;\Longrightarrow\; n(n-1) = \frac{12}{0{,}05} = 240.
n^2 - n - 240 = 0 \;\Longrightarrow\; n = \frac{1 + \sqrt{1 + 960}}{2} = \frac{1 + 31}{2} = 16.
\boxed{\text{Det er } 16 \text{ elever i klasse 1B.}}
Oppgave 5 (8 poeng)
På eksamen skulle eleven velge enten Alternativ I eller Alternativ II; alternativene teller likt. Her løses begge.
Alternativ I
Oppgave. f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1. a) Tegn grafen og finn topp-/bunnpunkt. b) Stigningstall til linjen l gjennom topp- og bunnpunkt. c) Med m = gjennomsnittet av x-koordinatene til topp- og bunnpunkt: finn stigningstallet til tangenten t i (m, f(m)), og vis at l : t = \tfrac23. d) Finn to andre tredjegradsfunksjoner med topp- og bunnpunkt, gjenta a)–c), og sett opp en hypotese.
a) Vi deriverer og finner ekstremalpunkter:
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3).
f'(x) = 0 for x = 1 og x = 3. Funksjonsverdiene:
f(1) = 1 - 6 + 9 - 1 = 3, \qquad f(3) = 27 - 54 + 27 - 1 = -1.
Siden f''(x) = 6x - 12 gir f''(1) = -6 < 0 og f''(3) = 6 > 0:
\boxed{\text{Toppunkt } (1, 3), \quad \text{bunnpunkt } (3, -1)}
b) Stigningstallet til linjen l gjennom (1, 3) og (3, -1):
a_l = \frac{-1 - 3}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = \boxed{-2}.
c) Gjennomsnittet av x-koordinatene er m = \dfrac{1 + 3}{2} = 2. Tangentens stigningstall:
a_t = f'(2) = 3(2-1)(2-3) = 3 \cdot 1 \cdot (-1) = -3.
Forholdet mellom stigningstallene:
\frac{a_l}{a_t} = \frac{-2}{-3} = \boxed{\frac{2}{3}}.
d) Vi prøver to nye tredjegradsfunksjoner:
Funksjon 1: p(x) = x^3 - 3x. Da er p'(x) = 3x^2 - 3 = 0 for x = \pm 1, med punkter (-1, 2) (topp) og (1, -2) (bunn).
a_l = \frac{-2 - 2}{1 - (-1)} = -2, \qquad m = 0, \quad a_t = p'(0) = -3, \qquad \frac{a_l}{a_t} = \frac{-2}{-3} = \frac23.
Funksjon 2: q(x) = x^3 - 12x + 5. Da er q'(x) = 3x^2 - 12 = 0 for x = \pm 2, med punkter (-2, 21) (topp) og (2, -11) (bunn).
a_l = \frac{-11 - 21}{2 - (-2)} = \frac{-32}{4} = -8, \qquad m = 0, \quad a_t = q'(0) = -12, \qquad \frac{a_l}{a_t} = \frac{-8}{-12} = \frac23.
Hypotese. For enhver tredjegradsfunksjon med både topp- og bunnpunkt er forholdet mellom stigningstallet til linjen l (gjennom topp- og bunnpunkt) og tangenten t i midtpunktet alltid
\boxed{\frac{a_l}{a_t} = \frac{2}{3}}.
Alternativ II
Hver oppgave kan løses ved regning, grafisk eller med digitale verktøy; her vises løsning ved regning (kontrollert med CAS).
a) Likningssystem. \;x^2 + y^2 = 25\; og \;7y - x = 25.
Fra den andre: x = 7y - 25. Sett inn:
(7y - 25)^2 + y^2 = 25 \;\Longrightarrow\; 49y^2 - 350y + 625 + y^2 = 25,
50y^2 - 350y + 600 = 0 \;\Longrightarrow\; y^2 - 7y + 12 = 0 \;\Longrightarrow\; (y-3)(y-4) = 0.
- y = 3 \Rightarrow x = 7\cdot 3 - 25 = -4
- y = 4 \Rightarrow x = 7\cdot 4 - 25 = 3
\boxed{(x, y) = (-4, 3) \quad \text{og} \quad (3, 4)}
(Grafisk: skjæring mellom sirkelen med radius 5 og linjen y = \tfrac{x+25}{7} gir de samme punktene.)
b) Ulikhet. \;6x^2 - 11x + 3 \ge 0.
Nullpunkter med abc-formelen:
x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 72}}{12} = \frac{11 \pm 7}{12} \;\Longrightarrow\; x = \frac{1}{3} \;\text{eller}\; x = \frac{3}{2}.
Parabelen åpner oppover, så uttrykket er \ge 0 utenfor nullpunktene:
\boxed{x \le \tfrac13 \;\;\text{eller}\;\; x \ge \tfrac32}.
c) Logaritmelikning. \;\lg(x - 3) = 3 + \lg 2.
Vi samler logaritmene: 3 = \lg 1000, så høyresiden er \lg(1000 \cdot 2) = \lg 2000. Da:
\lg(x - 3) = \lg 2000 \;\Longrightarrow\; x - 3 = 2000 \;\Longrightarrow\; \boxed{x = 2003}.
(Vilkår: x - 3 > 0, oppfylt.)
d) Én løsning. \;a x^2 + 3x + 1 = x - 2.
Vi samler alt på én side:
a x^2 + 3x + 1 - x + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; a x^2 + 2x + 3 = 0.
For at en andregradslikning (a \neq 0) skal ha nøyaktig én løsning, må diskriminanten være null:
2^2 - 4 \cdot a \cdot 3 = 0 \;\Longrightarrow\; 4 - 12a = 0 \;\Longrightarrow\; a = \frac{1}{3}.
\boxed{a = \tfrac13}
(Med a = \tfrac13 blir likningen \tfrac13 x^2 + 2x + 3 = 0, dvs. x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 = 0, som har dobbeltroten x = -3 — altså bare én løsning.)
Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Kilde og fasit: matematikk.net. Ikke tilknyttet Utdanningsdirektoratet.