Matematikk 1T — Høst 2010

Løsningsforslag (Del 1 og Del 2) · MAT1013 · Høst 2010 · K06 · ✓ Sammenholdt m/ matematikk.net · Uoffisielt

Om dette løsningsforslaget. Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Oppgaveteksten er ikke gjengitt i sin helhet; hver oppgave vises med nummer og et kort sammendrag. Kilde: oppgaven og matematikk.net sitt løsningsforslag. Sluttsvar er sammenholdt med matematikk.net sin versjon — se den ved tvil.

DEL 1 — Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (18 poeng)

a) Løs likningssystemet x+y=4 og 3x-y=8.

Vi legger sammen de to likningene for å fjerne y:

(x+y) + (3x-y) = 4 + 8 \;\Longrightarrow\; 4x = 12 \;\Longrightarrow\; x = 3.

Setter x=3 inn i x+y=4: \;y = 4 - 3 = 1.

\boxed{x = 3,\quad y = 1}

b) Løs likningen -\tfrac14 x + 2 = 2x - \tfrac52.

1) Grafisk. Tegn de to rette linjene y_1 = -\tfrac14 x + 2 \qquad\text{og}\qquad y_2 = 2x - \tfrac52 i samme koordinatsystem. Linjen y_1 har skjæring 2 med y-aksen og synker svakt; y_2 har skjæring -\tfrac52 og stiger bratt. Linjene krysser hverandre i x = 2 (med y = \tfrac32). Løsningen avleses som x-koordinaten til skjæringspunktet:

\boxed{x = 2}

2) Ved regning. Vi ganger hele likningen med 4 for å fjerne brøkene:

-x + 8 = 8x - 10 \;\Longrightarrow\; 8 + 10 = 8x + x \;\Longrightarrow\; 18 = 9x \;\Longrightarrow\; \boxed{x = 2}.

c) Regn ut 5{,}7\cdot 10^4 + 3{,}0\cdot 10^3 og skriv på standardform.

Vi gjør om til samme tierpotens før vi legger sammen:

5{,}7\cdot 10^4 + 3{,}0\cdot 10^3 = 57\,000 + 3\,000 = 60\,000.

På standardform (ett siffer foran komma):

\boxed{6{,}0\cdot 10^4}

d) Trekk sammen \dfrac{3}{x+4} + \dfrac{24}{x^2-16}.

Vi faktoriserer nevneren med konjugatsetningen: x^2-16 = (x+4)(x-4). Felles nevner blir (x+4)(x-4):

\frac{3}{x+4} + \frac{24}{(x+4)(x-4)} = \frac{3(x-4)}{(x+4)(x-4)} + \frac{24}{(x+4)(x-4)} = \frac{3x - 12 + 24}{(x+4)(x-4)} = \frac{3x + 12}{(x+4)(x-4)}.

Telleren 3x+12 = 3(x+4), så vi forkorter mot (x+4):

\frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)} = \boxed{\dfrac{3}{x-4}} \qquad (x \neq -4,\; x \neq 4).

e) Løs ulikheten x^2 + 2x - 8 \ge 0.

Nullpunktene til x^2+2x-8 finner vi med abc-formelen:

x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} \;\Longrightarrow\; x = -4 \;\text{eller}\; x = 2.

Altså x^2+2x-8 = (x+4)(x-2). Parabelen åpner oppover, så uttrykket er positivt (eller null) utenfor nullpunktene:

\boxed{\,x \le -4 \quad \text{eller} \quad x \ge 2\,}

f) Tegn en rettvinklet trekant ABC der \tan C = \tfrac{5}{12}.

Tangens til en spiss vinkel er forholdet mellom motstående og hosliggende katet:

\tan C = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}} = \frac{5}{12}.

Vi tegner derfor en rettvinklet trekant med den rette vinkelen i B, der vinkel C har - motstående katet AB = 5, - hosliggende katet BC = 12.

Hypotenusen blir da AC = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13.

A
|\
| \
5 |  \  13
|   \
B----C
  12

\boxed{\text{Rettvinklet i } B,\; AB = 5,\; BC = 12,\; AC = 13}

g) Twistpose med 25 biter, Per liker 16. Vi trekker 2 tilfeldig.

1) Per liker begge. Vi trekker uten tilbakelegging. Sannsynligheten for at den første liker (16 av 25) ganget med at den andre også liker (15 av 24 igjen):

P(\text{begge}) = \frac{16}{25}\cdot\frac{15}{24} = \frac{240}{600} = \boxed{\dfrac{2}{5} = 0{,}40}.

2) Per liker bare én. Enten «liker, liker-ikke» eller «liker-ikke, liker». De to rekkefølgene gir samme sannsynlighet, så vi ganger med 2:

P(\text{bare én}) = 2\cdot\frac{16}{25}\cdot\frac{9}{24} = 2\cdot\frac{144}{600} = \frac{288}{600} = \boxed{\dfrac{12}{25} = 0{,}48}.

Oppgave 2 (6 poeng)

Funksjonen er f(x) = \tfrac13 x^3 - x^2 + 7. Den deriverte er

f'(x) = x^2 - 2x.

a) Momentan vekstfart i x = 1.

f'(1) = 1^2 - 2\cdot 1 = 1 - 2 = \boxed{-1}.

Grafen synker i punktet (f avtar med fart 1 per enhet).

b) Gjennomsnittlig vekstfart fra x=0 til x=3. Ekstremalpunkt i [0,3]?

\frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{7 - 7}{3} = \boxed{0}.

Her er f(0) = 7 og f(3) = \tfrac13\cdot 27 - 9 + 7 = 9 - 9 + 7 = 7.

Begrunnelse: Ja, vi kan slutte at grafen har minst ett ekstremalpunkt i [0,3]. Den gjennomsnittlige vekstfarten er 0, men funksjonen er ikke konstant (i a) fant vi f'(1) = -1 \ne 0). Da må grafen først synke og siden stige (eller omvendt) for å komme tilbake til samme verdi. Et sted i intervallet skifter den deriverte fortegn, og der ligger et ekstremalpunkt.

c) Topp- og bunnpunkter ved regning.

Vi setter f'(x) = 0:

x^2 - 2x = 0 \;\Longrightarrow\; x(x - 2) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \;\text{eller}\; x = 2.

Vi bruker fortegnsskjema for f'(x) = x(x-2) (parabel som åpner opp, nullpunkt 0 og 2): - x < 0: f' > 0 (stiger) - 0 < x < 2: f' < 0 (synker) - x > 2: f' > 0 (stiger)

Så x = 0 gir et toppunkt og x = 2 gir et bunnpunkt. Funksjonsverdiene:

f(0) = 7, \qquad f(2) = \tfrac13\cdot 8 - 4 + 7 = \tfrac83 + 3 = \tfrac{17}{3} \approx 5{,}7.

\boxed{\text{Toppunkt } (0,\,7) \qquad \text{Bunnpunkt } \left(2,\,\tfrac{17}{3}\right)}

DEL 2 — Med hjelpemidler

Oppgave 3 (6 poeng)

Funksjonen T(x) = 100\cdot 0{,}5^{\,x/5730} viser hvor mange prosent av opprinnelig C-14 som er igjen x år etter at planten døde.

a) Tegn grafen til T for x \in [0,\,12000].

Grafen er en synkende eksponentialkurve som starter i T(0) = 100\,\% og avtar mot 0. Noen holdepunkter:

Kurven er bratt i starten og flater ut mot høyre (halveres for hver 5730. år).

b) Hvor lang tid tar det før mengden er halvert?

Halvert betyr T(x) = 50:

100\cdot 0{,}5^{\,x/5730} = 50 \;\Longrightarrow\; 0{,}5^{\,x/5730} = 0{,}5 \;\Longrightarrow\; \frac{x}{5730} = 1 \;\Longrightarrow\; x = 5730.

\boxed{5730 \text{ år}}

Dette er nettopp halveringstiden til C-14, slik formelen er bygget opp.

c) Hvor gammel var brønnen? (Treverket inneholdt 86,5 % C-14.)

Vi løser T(x) = 86{,}5:

100\cdot 0{,}5^{\,x/5730} = 86{,}5 \;\Longrightarrow\; 0{,}5^{\,x/5730} = 0{,}865.

Tar logaritmen på begge sider:

\frac{x}{5730}\cdot \ln 0{,}5 = \ln 0{,}865 \;\Longrightarrow\; x = 5730\cdot\frac{\ln 0{,}865}{\ln 0{,}5} \approx 5730 \cdot 0{,}2093 \approx 1199.

\boxed{x \approx 1200 \text{ år}}

Brønnen var altså omtrent 1200 år gammel da målingene ble gjort.

Oppgave 4 (6 poeng)

a) Hvor høy er flaggstanga? (Avstand 10{,}0 m, vinkel 51{,}3^\circ.)

Vi har en rettvinklet trekant der den hosliggende kateten til vinkelen er 10{,}0 m (avstanden langs bakken), og høyden h er den motstående kateten. Da bruker vi tangens:

\tan 51{,}3^\circ = \frac{h}{10{,}0} \;\Longrightarrow\; h = 10{,}0\cdot\tan 51{,}3^\circ \approx 10{,}0 \cdot 1{,}248 \approx 12{,}5.

\boxed{h \approx 12{,}5 \text{ m}}

b) Hvor langt er det fra A til B? (AC = 40{,}0 m, \angle A = 69{,}7^\circ, \angle C = 94{,}9^\circ.)

I trekant ABC er vinkelsummen 180^\circ, så

\angle B = 180^\circ - 69{,}7^\circ - 94{,}9^\circ = 15{,}4^\circ.

Vi bruker sinussetningen. Siden AB ligger motstående \angle C, og AC ligger motstående \angle B:

\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \;\Longrightarrow\; AB = AC\cdot\frac{\sin C}{\sin B} = 40{,}0\cdot\frac{\sin 94{,}9^\circ}{\sin 15{,}4^\circ} \approx 40{,}0\cdot\frac{0{,}9963}{0{,}2656} \approx 150.

\boxed{AB \approx 150 \text{ m}}

c) Areal av trekanten med sider 20, 24 og 14 m.

Vi har tre sider, så vi bruker Herons formel. Halve omkretsen er

s = \frac{20 + 24 + 14}{2} = 29.

Arealet blir

A = \sqrt{s(s-20)(s-24)(s-14)} = \sqrt{29\cdot 9\cdot 5\cdot 15} = \sqrt{19575} \approx 139{,}9.

\boxed{A \approx 140 \text{ m}^2}

Oppgave 5 (8 poeng)

Idrettslaget har 240 medlemmer; 45\,\% er kvinner; 63 menn ønsker ballbinge; til sammen 110 ønsker ikke ballbinge.

a) Fyll inn tabellen.

Vi regner ut hjelpetall: - Kvinner: 0{,}45\cdot 240 = 108. Menn: 240 - 108 = 132. - Ønsker ballbinge totalt: 240 - 110 = 130. - Kvinner som ønsker: 130 - 63 = 67. - Menn som ikke ønsker: 132 - 63 = 69. Kvinner som ikke ønsker: 108 - 67 = 41.

b) Sannsynligheten for at et tilfeldig medlem ønsker ballbinge.

P(\text{ønsker}) = \frac{130}{240} = \frac{13}{24} \approx \boxed{0{,}54}.

c) Medlemmet ønsker ballbinge — finn P(\text{mann}\mid\text{ønsker}).

Vi ser nå bare på de 130 som ønsker ballbinge; av disse er 63 menn:

P(\text{mann}\mid\text{ønsker}) = \frac{63}{130} \approx \boxed{0{,}48}.

d) Hvor mange nye «ja»-medlemmer må verves for at minst 75 % skal ønske ballbinge?

La x være antall nye medlemmer som ønsker ballbinge. Da blir antall som ønsker 130 + x og totalt antall 240 + x. Kravet er

\frac{130 + x}{240 + x} \ge 0{,}75.

Vi ganger opp (nevner er positiv):

130 + x \ge 0{,}75(240 + x) = 180 + 0{,}75x \;\Longrightarrow\; 0{,}25x \ge 50 \;\Longrightarrow\; x \ge 200.

\boxed{\text{Minst } 200 \text{ nye medlemmer}}

Kontroll: \dfrac{130 + 200}{240 + 200} = \dfrac{330}{440} = 0{,}75. ✓

Oppgave 6 (6 poeng)

a) Les av fast månedspris og minuttpris fra grafen.

Grafen er en rett linje. Skjæringen med y-aksen er den faste månedsprisen (kostnad ved 0 minutter):

\text{Fast månedspris} = 80 \text{ kr}.

Stigningstallet er minuttprisen. Fra (0,\,80) til (500,\,330):

\text{Pris per minutt} = \frac{330 - 80}{500 - 0} = \frac{250}{500} = 0{,}50 \text{ kr/min}.

\boxed{\text{Fast pris } 80 \text{ kr},\quad 0{,}50 \text{ kr per minutt}}

b) Tegn grafer for abonnement A, B og C (0 \le x \le 500).

Kostnadsfunksjonene blir:

A(x) = 1{,}59x B(x) = \begin{cases} 100, & 0 \le x \le 100 \\ 100 + 1{,}19(x - 100), & x > 100 \end{cases} C(x) = 250 + 0{,}49x

Holdepunkter for tegning:

A er en rett linje gjennom origo, B er vannrett fram til 100 min og stiger så, og C er en rett linje som starter høyt men stiger sakte.

c) Når lønner hvert abonnement seg?

Vi finner skjæringspunktene mellom grafene.

A billigst for små x. A starter i 0. A er lik B (som er 100 fram til 100 min) når

1{,}59x = 100 \;\Longrightarrow\; x = \frac{100}{1{,}59} \approx 62{,}9 \text{ min}.

B billigst i midten. B er lik C for x > 100:

100 + 1{,}19(x - 100) = 250 + 0{,}49x \;\Longrightarrow\; 1{,}19x - 19 = 250 + 0{,}49x \;\Longrightarrow\; 0{,}70x = 269 \;\Longrightarrow\; x \approx 384{,}3 \text{ min}.

Konklusjon (avrundet til hele minutter):

\boxed{ \begin{aligned} &\textbf{A} \text{ lønner seg for } 0 \le x \lesssim 63 \text{ min}\\ &\textbf{B} \text{ lønner seg for } 63 \lesssim x \lesssim 384 \text{ min}\\ &\textbf{C} \text{ lønner seg for } x \gtrsim 384 \text{ min} \end{aligned}}

Oppgave 7 (4 poeng)

95\,\% av elevene har Facebook. Vi velger 25 elever tilfeldig. Med p = 0{,}95 og n = 25 er antall elever med profil binomisk fordelt.

a) Sannsynligheten for at alle 25 har profil.

P(\text{alle } 25) = 0{,}95^{25} \approx \boxed{0{,}277}.

b) Sannsynligheten for at flere enn 20 har profil.

«Flere enn 20» betyr X = 21, 22, 23, 24 eller 25. Med binomisk formel P(X=k) = \binom{25}{k}\,0{,}95^k\,0{,}05^{\,25-k}:

P(X > 20) = \sum_{k=21}^{25}\binom{25}{k}0{,}95^{k}\,0{,}05^{\,25-k} \approx 0{,}9928.

\boxed{P(X > 20) \approx 0{,}99}

Vi kan også regne det ut med en kommandolinje eller lommeregner:

Program (Python):

from math import comb
n, p = 25, 0.95
P = sum(comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k) for k in range(21, 26))
print(round(P, 4))   # 0.9928

Program (C++):

#include <iostream>
#include <cmath>
long long komb(int n, int k) {            // binomialkoeffisient
    long long r = 1;
    for (int i = 1; i <= k; ++i) r = r * (n - i + 1) / i;
    return r;
}
int main() {
    int n = 25; double p = 0.95, P = 0.0;
    for (int k = 21; k <= 25; ++k)
        P += komb(n, k) * std::pow(p, k) * std::pow(1 - p, n - k);
    std::cout << P << "\n";                // 0.992835
    return 0;
}

Oppgave 8 (6 poeng)

I denne oppgaven velger man enten alternativ I eller alternativ II. Begge er løst her.

Alternativ I

Funksjonen er f(x) = -2x^2 + ax + 4.

a) Finn f'(x) og toppunktet når a = 2.

f'(x) = -4x + a.

Med a = 2: \;f'(x) = -4x + 2. Toppunktet ligger der f'(x) = 0:

-4x + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \tfrac12.

Koeffisienten foran x^2 er negativ, så grafen har et toppunkt her. y-verdien:

f\!\left(\tfrac12\right) = -2\cdot\tfrac14 + 2\cdot\tfrac12 + 4 = -\tfrac12 + 1 + 4 = \tfrac92.

\boxed{\text{Toppunkt } \left(\tfrac12,\; \tfrac92\right)}

b) Bestem a slik at x-koordinaten til toppunktet er -1.

Toppunktet ligger der f'(x) = 0, altså -4x + a = 0 \Rightarrow x = \dfrac{a}{4}. Vi krever x = -1:

\frac{a}{4} = -1 \;\Longrightarrow\; \boxed{a = -4}.

c) For hvilken a er y-koordinaten til toppunktet lavest?

x-koordinaten er x = \dfrac{a}{4}. Vi setter inn i f for å finne y-verdien til toppunktet som funksjon av a:

y_{\text{top}} = f\!\left(\tfrac{a}{4}\right) = -2\cdot\frac{a^2}{16} + a\cdot\frac{a}{4} + 4 = -\frac{a^2}{8} + \frac{a^2}{4} + 4 = \frac{a^2}{8} + 4.

Dette er en parabel i a som åpner oppover, med minste verdi når a^2 er minst, altså a = 0:

\boxed{a = 0} \qquad (\text{da blir } y_{\text{top}} = 4).

Alternativ II

a) Er trekanten med sider 27, 20 og 12 cm rettvinklet?

Vi sjekker den omvendte Pytagoras med den lengste siden (27) som mulig hypotenus:

27^2 = 729, \qquad 20^2 + 12^2 = 400 + 144 = 544.

Siden 729 \ne 544, er trekanten ikke rettvinklet. (Fordi 729 > 544 er den største vinkelen større enn 90^\circ, altså stump.)

\boxed{\text{Nei, trekanten er ikke rettvinklet.}}

b) Rettvinklet trekant av 6{,}0 m stang, én katet 2{,}0 m.

Hele stanga blir omkretsen, så a + b + c = 6{,}0 med a = 2{,}0 (katet), b den andre kateten og c hypotenusen. Da er b + c = 4{,}0, altså c = 4 - b. Pytagoras gir

a^2 + b^2 = c^2 \;\Longrightarrow\; 2^2 + b^2 = (4 - b)^2 = 16 - 8b + b^2.

4 = 16 - 8b \;\Longrightarrow\; 8b = 12 \;\Longrightarrow\; b = 1{,}5.

Da blir c = 4 - 1{,}5 = 2{,}5.

\boxed{\text{De to andre sidene er } 1{,}5 \text{ m og } 2{,}5 \text{ m.}}

c) Trekant av 6{,}0 m stang med én vinkel 120^\circ og en tilstøtende side 2{,}0 m.

La de to sidene som danner 120^\circ-vinkelen være 2{,}0 m og y, og den tredje siden (motstående 120^\circ) være z. Omkretsen er 6{,}0, så 2 + y + z = 6 \Rightarrow z = 4 - y. Cosinussetningen for siden z mot vinkelen 120^\circ:

z^2 = 2^2 + y^2 - 2\cdot 2\cdot y\cdot\cos 120^\circ.

Med \cos 120^\circ = -\tfrac12 blir det

z^2 = 4 + y^2 + 2y.

Setter z = 4 - y:

(4 - y)^2 = 4 + y^2 + 2y \;\Longrightarrow\; 16 - 8y + y^2 = 4 + y^2 + 2y \;\Longrightarrow\; 12 = 10y \;\Longrightarrow\; y = 1{,}2.

Da blir z = 4 - 1{,}2 = 2{,}8.

\boxed{\text{De to andre sidene er } 1{,}2 \text{ m og } 2{,}8 \text{ m.}}

Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Kilde og fasit: matematikk.net. Ikke tilknyttet Utdanningsdirektoratet.