← Alle eksamener ⬇ Last ned PDF (klassisk LaTeX)

Matematikk 1T — Høst 2015

Løsningsforslag (Del 1 og Del 2) · MAT1013 · Høst 2015 · K06 · ✓ Sammenholdt m/ matematikk.net · Uoffisielt

Om dette løsningsforslaget. Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Oppgaveteksten er ikke gjengitt i sin helhet; hver oppgave vises med nummer og et kort sammendrag. Kilde: oppgaven og matematikk.net sitt løsningsforslag. Sluttsvar er sammenholdt med matematikk.net sin versjon — se den ved tvil.

DEL 1 — Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng)

Oppgave. Regn ut 1{,}8\cdot 10^{12}\cdot 0{,}0005 og skriv svaret på standardform.

Løsning. Vi skriver 0{,}0005 = 5\cdot 10^{-4} og multipliserer:

1{,}8\cdot 10^{12}\cdot 5\cdot 10^{-4} = (1{,}8\cdot 5)\cdot 10^{12-4} = 9\cdot 10^{8}.

\boxed{\,9\cdot 10^{8}\,}

Oppgave 2 (2 poeng)

Oppgave. Løs likningssystemet 2x + 3y = 13 og 4x - 2y = 2.

Løsning. Vi bruker addisjonsmetoden. Multipliser den første likningen med 2:

\begin{aligned} 4x + 6y &= 26\\ 4x - 2y &= 2 \end{aligned}

Trekk den andre fra den første: 8y = 24 \Rightarrow y = 3. Sett inn i 2x + 3y = 13:

2x + 9 = 13 \;\Longrightarrow\; x = 2.

\boxed{x = 2,\quad y = 3}

Oppgave 3 (2 poeng)

Oppgave. Løs ulikheten -2x^2 + 6x < 0.

Løsning. Faktoriser venstresiden: -2x^2 + 6x = -2x(x - 3). Nullpunktene er x = 0 og x = 3. Parabelen y = -2x^2 + 6x åpner nedover (negativ ledende koeffisient), så uttrykket er negativt utenfor nullpunktene:

\boxed{\,x < 0 \;\text{ eller }\; x > 3\,}

Oppgave 4 (2 poeng)

Oppgave. Regn ut og skriv så enkelt som mulig: (\sqrt2)^2 - \dfrac{\sqrt8}{2} + \sqrt[3]{8} - \dfrac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}}.

Løsning. Vi forenkler ledd for ledd:

Setter vi sammen:

2 - \sqrt2 + 2 - 4 = -\sqrt2.

\boxed{\,-\sqrt2\,}

Oppgave 5 (2 poeng)

Oppgave. Likningen x^2 + bx + c = 0 har løsningene x_1 = -4 og x_2 = 2. Bestem b og c.

Løsning. Når et andregradsuttrykk med ledende koeffisient 1 har røttene x_1 og x_2, kan det skrives som (x - x_1)(x - x_2):

x^2 + bx + c = (x - (-4))(x - 2) = (x + 4)(x - 2) = x^2 + 2x - 8.

Sammenlign koeffisienter:

\boxed{b = 2,\quad c = -8}

Kontroll (Vietas formler): x_1 + x_2 = -b \Rightarrow -4 + 2 = -2 = -b, og x_1 x_2 = c \Rightarrow (-4)(2) = -8 = c. ✓

Oppgave 6 (2 poeng)

Oppgave. Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig: \dfrac{x+1}{x-1} - \dfrac{x-3}{2x-2} + \dfrac{1}{2}.

Løsning. Legg merke til at 2x - 2 = 2(x-1). Fellesnevner blir 2(x-1):

\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-3}{2(x-1)} + \frac{1}{2} = \frac{2(x+1)}{2(x-1)} - \frac{x-3}{2(x-1)} + \frac{x-1}{2(x-1)}.

Slå sammen tellerne:

\frac{2(x+1) - (x-3) + (x-1)}{2(x-1)} = \frac{2x + 2 - x + 3 + x - 1}{2(x-1)} = \frac{2x + 4}{2(x-1)} = \frac{2(x+2)}{2(x-1)}.

\boxed{\,\dfrac{x+2}{x-1}\,}

Oppgave 7 (2 poeng)

Oppgave. Skriv så enkelt som mulig: \dfrac{x^2 - 4xy + 4y^2}{3xy - 6y^2}.

Løsning. Telleren er et fullstendig kvadrat, og nevneren har felles faktor 3y:

x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2, \qquad 3xy - 6y^2 = 3y(x - 2y).

Dermed

\frac{(x - 2y)^2}{3y(x - 2y)} = \frac{x - 2y}{3y}.

\boxed{\,\dfrac{x - 2y}{3y}\,}

Oppgave 8 (2 poeng)

Oppgave. Løs likningen 2^{4x}\cdot 2^{x^2} = 32.

Løsning. Bruk potensregelen 2^{4x}\cdot 2^{x^2} = 2^{4x + x^2} og skriv 32 = 2^5:

2^{x^2 + 4x} = 2^5 \;\Longrightarrow\; x^2 + 4x = 5 \;\Longrightarrow\; x^2 + 4x - 5 = 0.

Faktoriser: (x + 5)(x - 1) = 0, så

\boxed{x = -5 \;\text{ eller }\; x = 1}

Oppgave 9 (2 poeng)

Oppgave. Bestem arealet av \triangle ABC (figur). Trekanten er rettvinklet i A, har \angle B = 45^\circ og hypotenus BC = \sqrt2.

Løsning. Med rett vinkel i A og \angle B = 45^\circ blir også \angle C = 45^\circ, så trekanten er likebeint: katetene AB og AC er like lange. Kall lengden k. Pytagoras gir

k^2 + k^2 = (\sqrt2)^2 = 2 \;\Longrightarrow\; 2k^2 = 2 \;\Longrightarrow\; k = 1.

Arealet av den rettvinklede trekanten er

A = \frac{1}{2}\cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}.

\boxed{\,A = \tfrac12\,}

Oppgave 10 (9 poeng)

Oppgave. f(x) = x^2 - x - 2. a) Nullpunkter. b) Vis at bunnpunktet er \left(\tfrac12, -\tfrac94\right). c) Tangenten i (2, f(2)). d) En linje l gjennom (3,7) parallell med tangenten i c); finn skjæringspunktene mellom l og grafen. e) Tegn alt i samme koordinatsystem.

a) Nullpunktene løses med faktorisering eller abc-formelen:

x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) = 0 \;\Longrightarrow\; \boxed{x = -1 \;\text{ og }\; x = 2}.

b) Bunnpunktet ligger der f'(x) = 0. Vi deriverer:

f'(x) = 2x - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \tfrac12.

y-verdien:

f\!\left(\tfrac12\right) = \left(\tfrac12\right)^2 - \tfrac12 - 2 = \tfrac14 - \tfrac12 - 2 = -\tfrac94.

Siden parabelen åpner oppover, er dette et bunnpunkt:

\boxed{\left(\tfrac12,\, -\tfrac94\right)}.

c) Tangenten i x = 2. Vi har f(2) = 4 - 2 - 2 = 0 og f'(2) = 2\cdot 2 - 1 = 3. Tangentlikningen:

y - f(2) = f'(2)(x - 2) \;\Longrightarrow\; y = 3(x - 2) + 0 = 3x - 6.

\boxed{y = 3x - 6}

d) Linjen l er parallell med tangenten, altså stigningstall 3, og går gjennom (3,7):

y = 3(x - 3) + 7 = 3x - 2.

Skjæring med grafen: sett f(x) = 3x - 2:

x^2 - x - 2 = 3x - 2 \;\Longrightarrow\; x^2 - 4x = 0 \;\Longrightarrow\; x(x - 4) = 0.

Det gir x = 0 og x = 4. Tilhørende y-verdier (fra y = 3x - 2): y(0) = -2 og y(4) = 10.

\boxed{(0,\, -2) \quad \text{og} \quad (4,\, 10)}

e) I samme koordinatsystem tegnes:

Tangenten og linjen l er parallelle (begge har stigningstall 3).

Oppgave 11 (2 poeng)

Oppgave. To formlike trapeser. Det minste har høyde h og areal A; det største har høyde 3h. Vis ved formelregning at det største har areal 9A.

Løsning. Arealet av et trapes er A = \dfrac{a + b}{2}\cdot h, der a og b er de parallelle sidene. Når to figurer er formlike og linjeforholdet (målestokken) er 3, blir alle lengder ganget med 3. De parallelle sidene i det store trapeset er derfor 3a og 3b, og høyden er 3h:

A_{\text{stor}} = \frac{3a + 3b}{2}\cdot 3h = \frac{3(a + b)}{2}\cdot 3h = 9\cdot\frac{(a + b)}{2}\cdot h = 9A.

\boxed{A_{\text{stor}} = 9A}

Generelt: når linjeforholdet er k, er arealforholdet k^2. Her er k = 3, så arealforholdet er 3^2 = 9.

Oppgave 12 (4 poeng)

Oppgave. En sykdomstest prøves på 360 personer; 60 er smittet. 68 tester positivt, og av disse er 10 ikke smittet. a) Fyll ut krysstabell. b) P(\text{positiv}\mid\text{smittet}). c) P(\text{ikke smittet}\mid\text{positiv}).

a) Vi fyller inn det vi vet og regner ut resten:

Smittet Ikke smittet Sum
Tester positivt 58 10 68
Tester ikke positivt 2 290 292
Sum 60 300 360

b) Sannsynligheten for at en smittet person tester positivt:

P(\text{positiv}\mid\text{smittet}) = \frac{58}{60} = \frac{29}{30} \approx 0{,}967.

\boxed{\,P \approx 0{,}97\,}

c) Sannsynligheten for at en som tester positivt likevel ikke er smittet:

P(\text{ikke smittet}\mid\text{positiv}) = \frac{10}{68} = \frac{5}{34} \approx 0{,}147.

\boxed{\,P \approx 0{,}15\,}

Oppgave 13 (2 poeng)

Oppgave. I \triangle ABC er \angle B = 90^\circ og \tan A = \dfrac{5}{12}. Bestem \cos C.

Løsning. Med rett vinkel i B er \angle A + \angle C = 90^\circ, altså C = 90^\circ - A. Da er

\cos C = \cos(90^\circ - A) = \sin A.

Fra \tan A = \dfrac{5}{12} tegner vi en rettvinklet trekant med motstående katet 5 og hosliggende katet 12. Hypotenusen blir

\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13.

Dermed er \sin A = \dfrac{5}{13}, og

\boxed{\,\cos C = \dfrac{5}{13}\,}

Oppgave 14 (2 poeng)

Oppgave. Gitt \triangle ABC med BC = 20, AC = 13 og \sin B = \dfrac{3}{5}. Bestem arealet av trekanten.

Løsning. Vi bruker standard sidenavn: a = BC = 20 (motstående A) og b = AC = 13 (motstående B). La c = AB være den ukjente siden. Siden \sin B = \tfrac35, er \cos B = \pm\sqrt{1 - \tfrac{9}{25}} = \pm\tfrac45. Vi tar \cos B = \tfrac45 (spiss vinkel, i tråd med figuren) og bruker cosinussetningen på siden motstående B:

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B \;\Longrightarrow\; 169 = 400 + c^2 - 2\cdot 20\cdot c\cdot\tfrac45,

som gir c^2 - 32c + 231 = 0. Abc-formelen:

c = \frac{32 \pm \sqrt{32^2 - 4\cdot 231}}{2} = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 924}}{2} = \frac{32 \pm 10}{2},

altså c = 21 eller c = 11. Figuren viser trekanten der AB er den lengste siden (og vinkel A er spiss), noe som svarer til c = AB = 21. Arealet er da

A = \tfrac12\,a\,c\,\sin B = \tfrac12\cdot 20\cdot 21\cdot\tfrac35 = 126.

\boxed{\,A = 126\,}

Merknad (SSA). Reint algebraisk gir likningen c^2 - 32c + 231 = 0 to positive løsninger, c = 21 og c = 11 (det tvetydige SSA-tilfellet, siden AC = 13 < BC = 20). Verdien c = 11 svarer til en annen trekant med areal A = 6\cdot 11 = 66. Denne trekanten passer ikke figuren (der ville AB vært den korteste siden og vinkel A stump), så det er c = 21 og A = 126 som er svaret på oppgaven slik den er stilt med figur.

DEL 2 — Med hjelpemidler

Oppgave 1 (3 poeng)

Oppgave. Søylediagram viser antall registrerte elbiler i Norge 2000–2007 (383, 607, 832, 1081, 1193, 1352, 1667, 1905); veksten var tilnærmet lineær. a) La x = antall år etter 2000; finn en lineær modell f. b) Hvordan passer modellen med tallene 2432 (2008), 9580 (2012) og 41\,051 (2014)?

a) Vi gjør lineær regresjon på punktene (0, 383), (1, 607), \dots, (7, 1905) med digitalt verktøy (regresjon / «tilpass linje»). Det gir

\boxed{f(x) \approx 210x + 393}.

Modellen sier at antallet elbiler økte med omtrent 210 per år i perioden 2000–2007.

b) Vi setter inn årene (husk x = år etter 2000):

År x Modell f(x) Faktisk
2008 8 \approx 2070 2432
2012 12 \approx 2910 9580
2014 14 \approx 3330 41\,051

For 2008 er modellen rimelig nær, men allerede i 2012 og spesielt i 2014 ligger den langt under de faktiske tallene. Den lineære modellen passer altså dårlig etter 2007: den faktiske utviklingen var ikke lineær, men eksponentiell (mye raskere vekst). En lineær modell kan ikke fange opp den eksplosive veksten i elbilsalget etter 2010.

Oppgave 2 (3 poeng)

Oppgave. Et kvadrat med side 6 er delt i tre blå trekanter (med likt areal) og én hvit, likebeint trekant (se figur). Bestem et eksakt uttrykk for arealet av den hvite trekanten.

Løsning. Legg kvadratet i et koordinatsystem med hjørner (0,0), (6,0), (6,6), (0,6). Ut fra figuren har den hvite trekanten ett hjørne i nedre høyre hjørne R = (6, 0), ett punkt P = (0, p) på venstre side og ett punkt Q = (q, 6) på toppen. De tre blå trekantene er da:

Kravet om likt areal, B_1 = B_2 = B_3, gir to likninger. Løses med CAS:

p = 9 - 3\sqrt5, \qquad q = 3\sqrt5 - 3.

Den hvite trekanten har areal lik hele kvadratet minus de tre blå:

A_{\text{hvit}} = 36 - 3B_2 = 36 - 3\cdot 3p = 36 - 9(9 - 3\sqrt5) = 36 - 81 + 27\sqrt5 = 27\sqrt5 - 45.

\boxed{\,A_{\text{hvit}} = 27\sqrt5 - 45 \approx 15{,}4\,}

Kontroll: Avstandene PR = QR = 3\sqrt{10} - 3\sqrt2 er like, så trekanten er likebeint — i samsvar med oppgaven. Hver blå trekant har areal 27 - 9\sqrt5 \approx 6{,}9, og 3(27 - 9\sqrt5) + (27\sqrt5 - 45) = 36. ✓

Oppgave 3 (4 poeng)

Oppgave. f(x) = x^2 - x - 2. a) Tegn med graftegner: grafen til f, sekanten gjennom (1, f(1)) og (3, f(3)), sekanten gjennom (0, f(0)) og (4, f(4)), og tangenten i (2, f(2)). b) Bruk CAS til å vise at tangenten i (c, f(c)) er parallell med sekanten gjennom (c - h, f(c - h)) og (c + h, f(c + h)).

a) Med graftegner (GeoGebra e.l.) tegnes alle fire linjene/kurvene i samme vindu:

Observasjon: alle tre rette linjene er parallelle (stigningstall 3). Det skyldes at de to sekantene er symmetriske om x = 2 (de har midtpunkt i x = 2), og tangentpunktet er nettopp x = 2. Dette er hovedpoenget som bevises generelt i b).

b) Vi bruker CAS. La f(x) = x^2 - x - 2.

Stigningstall til tangenten i x = c:

f'(x) = 2x - 1, \qquad f'(c) = 2c - 1.

Stigningstall til sekanten gjennom (c - h, f(c - h)) og (c + h, f(c + h)):

a_{\text{sek}} = \frac{f(c + h) - f(c - h)}{(c + h) - (c - h)}.

Regn ut telleren:

f(c + h) - f(c - h) = \big[(c+h)^2 - (c+h) - 2\big] - \big[(c-h)^2 - (c-h) - 2\big].

Vi bruker (c+h)^2 - (c-h)^2 = 4ch og -(c+h) + (c-h) = -2h:

f(c + h) - f(c - h) = 4ch - 2h = 2h(2c - 1).

Nevneren er 2h, så

a_{\text{sek}} = \frac{2h(2c - 1)}{2h} = 2c - 1.

Vi ser at a_{\text{sek}} = 2c - 1 = f'(c). Tangenten og sekanten har altså samme stigningstall for alle c og alle h \neq 0, og er derfor parallelle. \blacksquare

CAS (eksempel, GeoGebra-syntaks):

f(x) := x^2 - x - 2
tangent := f'(c)
sekant  := (f(c + h) - f(c - h)) / (2h)
Forenkle(tangent - sekant)   →  0

At differansen er 0 viser at stigningstallene er like.

Oppgave 4 (2 poeng)

Oppgave. Et rektangel har areal \dfrac38 og omkrets \dfrac52. Finn lengde og bredde.

Løsning. La l være lengden og b bredden. Omkrets 2(l + b) = \tfrac52 gir l + b = \tfrac54, og areal gir l\cdot b = \tfrac38.

Da er l og b røttene til andregradslikningen t^2 - \tfrac54 t + \tfrac38 = 0. Multipliser med 8:

8t^2 - 10t + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 96}}{16} = \frac{10 \pm 2}{16}.

Det gir t = \tfrac34 og t = \tfrac12.

\boxed{\text{Lengde } = \tfrac34, \quad \text{bredde } = \tfrac12}

Kontroll: \tfrac34\cdot\tfrac12 = \tfrac38 ✓ og 2\left(\tfrac34 + \tfrac12\right) = 2\cdot\tfrac54 = \tfrac52 ✓.

Oppgave 5 (5 poeng)

Oppgave. En avisoverskrift sier «Fire av fem kjøretøy i kollektivfeltet er elbiler». Sitatet: daglig ble det registrert ca. 1350 elbiler, 120 busser og 100 drosjer i kollektivfeltet. a) Vurder om sitatet gir grunnlag for overskriften. b/c) Anta at fire av fem kjøretøy er elbiler. Bestem sannsynligheten for at av de tre neste kjøretøyene er b) nøyaktig ett elbil, c) minst to elbiler.

a) Sitatet teller bare elbiler, busser og drosjer — til sammen 1350 + 120 + 100 = 1570 kjøretøy. Andelen elbiler er

\frac{1350}{1570} \approx 0{,}86 \approx 86\,\%.

«Fire av fem» betyr \tfrac45 = 80\,\%. Hvis dette virkelig var alle kjøretøyene i kollektivfeltet, gir tallene faktisk grunnlag for overskriften (andelen er til og med litt høyere enn 80\,\%). Men sitatet nevner kun tre kjøretøytyper; vanlige biler, motorsykler, lastebiler osv. som lovlig (eller ulovlig) bruker kollektivfeltet er ikke regnet med. Hvis det også kjørte mange slike, er den reelle elbilandelen lavere, og overskriften kan være misvisende. Konklusjon: sitatet kan støtte overskriften dersom de tre typene utgjør (tilnærmet) alle kjøretøyene, men datagrunnlaget er ufullstendig, så påstanden bør tolkes med forsiktighet.

b) Hvert kjøretøy er elbil med sannsynlighet p = \tfrac45 = 0{,}8, uavhengig av de andre. Antall elbiler blant tre kjøretøy er binomisk fordelt, X \sim \text{bin}(n = 3,\, p = 0{,}8). Sannsynligheten for nøyaktig ett:

P(X = 1) = \binom{3}{1}\left(\tfrac45\right)^1\left(\tfrac15\right)^2 = 3\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{25} = \frac{12}{125} = 0{,}096.

\boxed{\,P(X = 1) = \tfrac{12}{125} \approx 0{,}096\,}

c) Minst to betyr X = 2 eller X = 3:

P(X = 2) = \binom{3}{2}\left(\tfrac45\right)^2\left(\tfrac15\right) = 3\cdot\frac{16}{25}\cdot\frac{1}{5} = \frac{48}{125},

P(X = 3) = \left(\tfrac45\right)^3 = \frac{64}{125}.

P(X \ge 2) = \frac{48}{125} + \frac{64}{125} = \frac{112}{125} = 0{,}896.

\boxed{\,P(X \ge 2) = \tfrac{112}{125} \approx 0{,}896\,}

Oppgave 6 (7 poeng)

Oppgave. Gitt \triangle ABC med \angle A = 45^\circ, BC = 6 og AC = 8. a) Bruk CAS til å finne AB eksakt. Sett deretter BC = a. b) Lag skisser som viser at man kan få to, én eller ingen trekant. Sett AB = x. c) Bruk CAS til å finne for hvilke a likningen a^2 = 8^2 + x^2 - 16x\cos 45^\circ har to positive løsninger / én løsning / ingen løsning (eksakte verdier). d) Vurder om svarene i c) samsvarer med skissene i b).

a) Vi bruker cosinussetningen på siden BC = a = 6, som ligger motstående \angle A = 45^\circ. Med AC = 8 og AB = x:

a^2 = AC^2 + AB^2 - 2\cdot AC\cdot AB\cdot\cos A \;\Longrightarrow\; 6^2 = 8^2 + x^2 - 16x\cos 45^\circ.

Med \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2} blir 16x\cos45^\circ = 8\sqrt2\,x, så likningen er

x^2 - 8\sqrt2\,x + 28 = 0.

CAS gir

x = \frac{8\sqrt2 \pm \sqrt{(8\sqrt2)^2 - 4\cdot 28}}{2} = \frac{8\sqrt2 \pm \sqrt{128 - 112}}{2} = \frac{8\sqrt2 \pm 4}{2} = 4\sqrt2 \pm 2.

Begge røttene er positive, så det finnes to mulige lengder for AB:

\boxed{\,AB = 4\sqrt2 + 2 \;\text{ eller }\; AB = 4\sqrt2 - 2\,}

(omtrent 7{,}66 eller 3{,}66). Dette er det tvetydige tilfellet — to trekanter passer dataene.

b) Skisser (kvalitativt). Punktet A er fast med \angle A = 45^\circ, og C ligger på det ene vinkelbeinet med AC = 8. Den ukjente siden a = BC tegnes som en sirkel med radius a og sentrum i C; trekanten dannes der sirkelen treffer det andre vinkelbeinet (linjen gjennom A):

c) Skriv likningen som x^2 - 8\sqrt2\,x + (64 - a^2) = 0. Diskriminanten er

D = (8\sqrt2)^2 - 4(64 - a^2) = 128 - 256 + 4a^2 = 4a^2 - 128 = 4(a^2 - 32).

Vi trenger også fortegnet på røttene. Etter Vietas formler er summen x_1 + x_2 = 8\sqrt2 > 0 og produktet x_1 x_2 = 64 - a^2.

CAS (eksempel, GeoGebra-syntaks):

Løs(a^2 = 8^2 + x^2 - 16x*cos(45°), x)
→ x = 4√2 - √(4a² - 112)/... (CAS gir to uttrykk i a)
Diskriminant: D = (8√2)^2 - 4(64 - a^2) = 4a^2 - 128
Løs(4a^2 - 128 > 0, a)  → a > 4√2   (med a > 0)

d) Svarene i c) stemmer fullt ut med skissene i b):

Den algebraiske analysen (antall positive løsninger) gir altså nøyaktig samme inndeling som den geometriske (antall mulige trekanter). ✓

Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Kilde og fasit: matematikk.net. Ikke tilknyttet Utdanningsdirektoratet.