Matematikk 1T — Høst 2017
Om dette løsningsforslaget. Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Oppgaveteksten er ikke gjengitt i sin helhet; hver oppgave vises med nummer og et kort sammendrag. Kilde: oppgaven og matematikk.net sitt løsningsforslag. Sluttsvar er sammenholdt med matematikk.net sin versjon — se den ved tvil.
DEL 1 — Uten hjelpemidler
Oppgave 1 (2 poeng)
Oppgave. Regn ut \dfrac{120 \cdot 25000}{0{,}15} og skriv svaret på standardform.
Løsning. Vi regner ut teller og deler:
\frac{120 \cdot 25\,000}{0{,}15} = \frac{3\,000\,000}{0{,}15} = 20\,000\,000.
Skrevet på standardform (ett siffer foran komma, ganget med en tierpotens):
\boxed{2 \cdot 10^{7}}
Oppgave 2 (2 poeng)
Oppgave. Løs likningen \tfrac12 x - 1 = 9 - 2x grafisk.
Løsning. Vi tegner de to rette linjene
y_1 = \tfrac12 x - 1 \qquad \text{og} \qquad y_2 = 9 - 2x
i samme koordinatsystem. Linjen y_1 har stigningstall \tfrac12 og skjærer y-aksen i -1; linjen y_2 har stigningstall -2 og skjærer y-aksen i 9. Skjæringspunktet leses av til x = 4 (med y = 1).
Kontroll ved innsetting: \tfrac12 \cdot 4 - 1 = 1 og 9 - 2\cdot 4 = 1. ✓
\boxed{x = 4}
Oppgave 3 (2 poeng)
Oppgave. Løs ulikheten x^2 - x - 12 \le 0.
Løsning. Vi finner nullpunktene til x^2 - x - 12:
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2} \;\Longrightarrow\; x = -3 \;\text{eller}\; x = 4.
Altså er x^2 - x - 12 = (x+3)(x-4). Parabelen åpner oppover, så uttrykket er negativt (eller null) mellom nullpunktene:
\boxed{\,-3 \le x \le 4\,}
Oppgave 4 (2 poeng)
Oppgave. Sorter tallene \sin 73^\circ, \tan 45^\circ, \lg 1 og \lg\!\left(10^{-\frac14}\right) i stigende rekkefølge, med begrunnelse.
Løsning. Vi finner verdien til hvert tall:
- \tan 45^\circ = 1
- \sin 73^\circ: en sinusverdi nær 90^\circ, altså litt mindre enn 1. (\sin 73^\circ \approx 0{,}96.)
- \lg 1 = 0 (fordi 10^0 = 1).
- \lg\!\left(10^{-\frac14}\right) = -\tfrac14 (logaritmeregelen \lg 10^a = a).
Stigende rekkefølge (-\tfrac14 < 0 < 0{,}96 < 1):
\boxed{\;\lg\!\left(10^{-\frac14}\right) \;<\; \lg 1 \;<\; \sin 73^\circ \;<\; \tan 45^\circ\;}
Oppgave 5 (2 poeng)
Oppgave. Løs likningen \lg\!\left(x + \tfrac{1}{25}\right) = -2.
Løsning. Definisjonen av tierlogaritmen gir x + \tfrac{1}{25} = 10^{-2}:
x + \frac{1}{25} = \frac{1}{100} \;\Longrightarrow\; x = \frac{1}{100} - \frac{1}{25} = \frac{1}{100} - \frac{4}{100} = -\frac{3}{100}.
\boxed{x = -\frac{3}{100} = -0{,}03}
(Kontroll: x + \tfrac{1}{25} = -0{,}03 + 0{,}04 = 0{,}01 = 10^{-2} > 0, så argumentet er positivt. ✓)
Oppgave 6 (1 poeng)
Oppgave. Skriv \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x}}{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}} så enkelt som mulig.
Løsning. Teller: \sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} = 3\sqrt{x}. Nevner: \sqrt{x}\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{x} = (\sqrt{x})^3 = x\sqrt{x}. Da blir
\frac{3\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} = \frac{3}{x}.
\boxed{\dfrac{3}{x}}
Oppgave 7 (2 poeng)
Oppgave. Skriv \dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{30}}\cdot 5^{-1}\cdot 10^{\frac12} + 8^{\frac13} så enkelt som mulig.
Løsning. Vi tar leddene hver for seg. Først bråken:
\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{30}} = \sqrt{\frac{75}{30}} = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}.
Med 5^{-1} = \tfrac15 og 10^{\frac12} = \sqrt{10}:
\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{5}\cdot \sqrt{10} = \frac{1}{5}\cdot\frac{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{5}\cdot\sqrt{\frac{50}{2}} = \frac{1}{5}\cdot\sqrt{25} = \frac{1}{5}\cdot 5 = 1.
Det siste leddet er 8^{\frac13} = \sqrt[3]{8} = 2. Til sammen:
1 + 2 = 3.
\boxed{3}
Oppgave 8 (2 poeng)
Oppgave. En lineær funksjon f oppfyller f(2) = 4 og f'(2) = 3. Bestem f(x).
Løsning. En lineær funksjon har formen f(x) = ax + b, der den deriverte (stigningstallet) er konstant: f'(x) = a. Dermed er
a = f'(2) = 3.
Vi bruker f(2) = 4 til å finne b:
f(2) = 3\cdot 2 + b = 6 + b = 4 \;\Longrightarrow\; b = -2.
\boxed{f(x) = 3x - 2}
Oppgave 9 (3 poeng)
Oppgave. a) Faktoriser 3x^2 - 9x. b) Skriv \dfrac{x}{x-2} + \dfrac{2x}{x-3} - \dfrac{2x}{x^2 - 5x + 6} så enkelt som mulig.
a) Felles faktor 3x:
3x^2 - 9x = \boxed{3x(x-3)}.
b) Først faktoriserer vi nevneren i siste brøk: x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3). Fellesnevner er (x-2)(x-3):
\frac{x(x-3)}{(x-2)(x-3)} + \frac{2x(x-2)}{(x-2)(x-3)} - \frac{2x}{(x-2)(x-3)}.
Vi samler tellerne:
x(x-3) + 2x(x-2) - 2x = x^2 - 3x + 2x^2 - 4x - 2x = 3x^2 - 9x = 3x(x-3).
Setter inn over fellesnevneren og forkorter med (x-3):
\frac{3x(x-3)}{(x-2)(x-3)} = \frac{3x}{x-2}.
\boxed{\dfrac{3x}{x-2}}
Oppgave 10 (3 poeng)
Oppgave. To like store Vg2-klasser, 2A og 2B. Alle i 2A har valgt biologi; halvparten av 2B har valgt biologi. a) Sannsynlighet for at en tilfeldig elev har valgt biologi. b) Gitt at en tilfeldig valgt biologi-elev — sannsynlighet for at hen går i 2A.
Oppsett. La hver klasse ha n elever (til sammen 2n). 2A: alle n har biologi. 2B: \tfrac{n}{2} har biologi. Antall biologi-elever totalt: n + \tfrac{n}{2} = \tfrac{3n}{2}.
a) Sannsynligheten for biologi:
P(\text{biologi}) = \frac{\tfrac{3n}{2}}{2n} = \frac{3n}{2}\cdot\frac{1}{2n} = \frac{3}{4}.
\boxed{P(\text{biologi}) = \tfrac34}
b) Betinget sannsynlighet — av biologi-elevene, hvor stor andel går i 2A:
P(2A \mid \text{biologi}) = \frac{P(2A \cap \text{biologi})}{P(\text{biologi})} = \frac{n}{\tfrac{3n}{2}} = \frac{n\cdot 2}{3n} = \frac{2}{3}.
\boxed{P(2A \mid \text{biologi}) = \tfrac23}
Oppgave 11 (4 poeng)
Oppgave. f(x) = x^4 - 2x^3 + 2. a) Bestem gjennomsnittlig vekstfart i [-1, 1]. b) Vis at (0, 2) er et terrassepunkt.
a) Gjennomsnittlig vekstfart er \dfrac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)}. Vi regner ut:
f(1) = 1 - 2 + 2 = 1, \qquad f(-1) = 1 + 2 + 2 = 5.
\frac{f(1) - f(-1)}{2} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2.
\boxed{\text{Gjennomsnittlig vekstfart} = -2}
b) Et terrassepunkt er et punkt der både f'(x) = 0 og f''(x) = 0 (og den deriverte ikke skifter fortegn). Vi deriverer:
f'(x) = 4x^3 - 6x^2, \qquad f''(x) = 12x^2 - 12x.
I x = 0:
f'(0) = 0, \qquad f''(0) = 0.
Dessuten er f'(x) = 2x^2(2x - 3) \le 0 for alle x nær 0 (siden 2x^2 \ge 0 og 2x - 3 < 0), så f er avtakende på begge sider av x = 0 — den deriverte skifter ikke fortegn. Funksjonsverdien er f(0) = 2. Dermed er (0, 2) et terrassepunkt. \;\blacksquare
Oppgave 12 (5 poeng)
Oppgave. f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8. a) Bestem f'(x). b) Finn likningen for tangenten i (1, f(1)). c) Har grafen flere tangenter parallelle med denne? Begrunn.
a) Deriverer ledd for ledd:
\boxed{f'(x) = 3x^2 - 12x + 12 = 3(x-2)^2}
b) Vi trenger f(1) og f'(1):
f(1) = 1 - 6 + 12 - 8 = -1, \qquad f'(1) = 3(1-2)^2 = 3.
Tangenten har stigningstall 3 og går gjennom (1, -1):
y - (-1) = 3(x - 1) \;\Longrightarrow\; y = 3x - 4.
\boxed{y = 3x - 4}
c) En parallell tangent har samme stigningstall 3, altså f'(x) = 3:
3(x-2)^2 = 3 \;\Longrightarrow\; (x-2)^2 = 1 \;\Longrightarrow\; x - 2 = \pm 1 \;\Longrightarrow\; x = 1 \;\text{eller}\; x = 3.
x = 1 er tangenten fra b). Det finnes altså én annen tangent med samme stigningstall, nemlig i x = 3. (Der er f(3) = 27 - 54 + 36 - 8 = 1, så tangenten er y = 3x - 8.)
\boxed{\text{Ja — det finnes nøyaktig én annen parallell tangent, i } x = 3.}
Oppgave 13 (3 poeng)
Oppgave. Trekantene ABC og DEF har \angle B = \angle E = 90^\circ, \tan A = \tan D = \tfrac{5}{12} og AC = 2\,DF. Lag en skisse med mål.
Løsning. Begge trekanter er rettvinklet og har samme spisse vinkel (\tan A = \tan D), så de er formlike. I trekant DEF er \tan D = \dfrac{EF}{DE} = \dfrac{5}{12}. Den enkleste «pytagoreiske» trekanten med dette forholdet er 5\,–\,12\,–\,13:
DE = 12, \quad EF = 5, \quad DF = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13.
Da er AC = 2\,DF = 26, og siden ABC er formlik med målestokk 2:
AB = 24, \quad BC = 10, \quad AC = 26.
Kontroll: \tan A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{10}{24} = \dfrac{5}{12} ✓ og \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{676} = 26 ✓.
Skisse (mål påført):
- Trekant DEF: rett vinkel i E, kateter DE = 12 og EF = 5, hypotenus DF = 13.
- Trekant ABC: rett vinkel i B, kateter AB = 24 og BC = 10, hypotenus AC = 26.
\boxed{ABC:\; 10,\,24,\,26 \qquad DEF:\; 5,\,12,\,13}
Oppgave 14 (3 poeng)
Oppgave. En blå figur er tegnet på et rutenett med kvadrater med side a (se figuren i oppgaven — to runde «kuler» øverst med en halvsirkel skåret ut nederst i midten). a) Bestem omkretsen uttrykt ved a. b) Bestem arealet uttrykt ved a.
Tolkning av figuren. Alle buene i figuren er sirkelbuer med radius a (de følger rutene). Figuren kan deles opp i kvartsirkler med radius a pluss et rektangulært midtparti, med en halvsirkel (radius a) skåret ut nederst i midten.
a) Omkrets. Randen består til sammen av buer som tilsvarer omkretsen til to hele sirkler med radius a. Omkretsen til én sirkel med radius a er 2\pi a, så
O = 2\cdot 2\pi a = 4\pi a.
\boxed{O = 4\pi a}
b) Areal. Figuren settes sammen av seks kvartsirkler med radius a og et rektangel på 2a \times a (areal 2a^2), og en halvsirkel med radius a er skåret bort:
A = \underbrace{6\cdot \tfrac14 \pi a^2}_{\text{seks kvartsirkler}} + \underbrace{2a^2}_{\text{rektangel}} - \underbrace{\tfrac12 \pi a^2}_{\text{utskåret halvsirkel}} = \tfrac{3}{2}\pi a^2 + 2a^2 - \tfrac12\pi a^2 = \pi a^2 + 2a^2.
\boxed{A = a^2(\pi + 2)}
DEL 2 — Med hjelpemidler
Oppgave 1 (8 poeng)
Oppgave. Antall tusen artikler i den engelske Wikipedia x år etter 1.1.2002 er f(x) = -2{,}34x^3 + 50x^2 + 129x + 19{,}7 for x \in [0, 15]. a) Tegn grafen. b) Gjennomsnittlig vekstfart i [0, 15]. c) Bestem f'(x) og tegn den. d) Toppunktet til f' og hva det betyr.
a) Med graftegner (GeoGebra/CAS) tegnes y = -2{,}34x^3 + 50x^2 + 129x + 19{,}7 for 0 \le x \le 15. Grafen starter i f(0) = 19{,}7 (ca. 19 700 artikler ved starten av 2002) og stiger jevnt — først stadig brattere, deretter avtar bratthet — til f(15) \approx 5307 (ca. 5,3 millioner artikler ved starten av 2017).
b) Gjennomsnittlig vekstfart i [0, 15]:
\frac{f(15) - f(0)}{15 - 0} = \frac{5307{,}2 - 19{,}7}{15} = \frac{5287{,}5}{15} = 352{,}5.
I gjennomsnitt vokste antallet med ca. 352{,}5 tusen (\approx 352\,500) artikler per år i perioden.
\boxed{\text{Gjennomsnittlig vekstfart} = 352{,}5 \text{ (tusen artikler per år)}}
c) Vi deriverer:
\boxed{f'(x) = -7{,}02x^2 + 100x + 129}
Grafen til f' for x \in \langle 0, 15\rangle er en parabel som vender ned (toppunkt), med f'(0) = 129.
d) Toppunktet til f' er der f''(x) = 0:
f''(x) = -14{,}04x + 100 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{100}{14{,}04} \approx 7{,}12.
Verdien der:
f'(7{,}12) \approx -7{,}02\cdot 7{,}12^2 + 100\cdot 7{,}12 + 129 \approx 485.
\boxed{\text{Toppunkt på } f': \;(7{,}12,\; 485)}
Praktisk betydning. Grafen til f viser at antall artikler hele tiden øker i perioden. Grafen til f' (den momentane vekstfarten) har toppunkt i ca. x = 7{,}12. Det betyr at antall artikler vokste raskest rundt x \approx 7{,}1 år etter 1.1.2002, altså omkring tidlig 2009, og at den største vekstfarten da var ca. 485 tusen (\approx 485\,000) artikler per år. Etter dette tidspunktet vokste antallet fortsatt, men stadig saktere.
Oppgave 2 (4 poeng)
Oppgave. En eske har 3 hvite og 9 røde julekuler (12 til sammen). 1 hvit og 4 røde er ødelagt (5 ødelagte, 7 hele). Du trekker to kuler tilfeldig (uten tilbakelegging). a) Sannsynlighet for at begge er hele. b) Sannsynlighet for at minst én er ødelagt.
Oppsett. Av 12 kuler er 7 hele og 5 ødelagte.
a) Sannsynligheten for to hele kuler:
P(\text{begge hele}) = \frac{7}{12}\cdot\frac{6}{11} = \frac{42}{132} = \frac{7}{22} \approx 0{,}318.
\boxed{P(\text{begge hele}) = \tfrac{7}{22} \approx 31{,}8\,\%}
b) «Minst én ødelagt» er det motsatte av «begge hele»:
P(\text{minst én ødelagt}) = 1 - \frac{7}{22} = \frac{15}{22} \approx 0{,}682.
\boxed{P(\text{minst én ødelagt}) = \tfrac{15}{22} \approx 68{,}2\,\%}
Oppgave 3 (3 poeng)
Oppgave. Magnus og Monika står på en horisontal slette. Fra figuren: avstanden mellom dem er 140 m, og fra Monika (nærmest fjellet) er det 100\text{ m} + x til foten av fjellet. De måler høydevinklene 36^\circ og 50^\circ til toppen. Bestem fjellets høyde h.
Løsning. La d være den vannrette avstanden fra Monika (50^\circ) til loddrett under toppen. Da er avstanden fra Magnus (36^\circ) lik d + 140. Med høydedefinisjonen av tangens:
\tan 50^\circ = \frac{h}{d}, \qquad \tan 36^\circ = \frac{h}{d + 140}.
Løser vi den første for d = \dfrac{h}{\tan 50^\circ} og setter inn i den andre:
\tan 36^\circ = \frac{h}{\dfrac{h}{\tan 50^\circ} + 140}.
Dette gir likningen
h = \tan 36^\circ\left(\frac{h}{\tan 50^\circ} + 140\right) \;\Longrightarrow\; h\left(1 - \frac{\tan 36^\circ}{\tan 50^\circ}\right) = 140\tan 36^\circ.
Med \tan 36^\circ \approx 0{,}7265 og \tan 50^\circ \approx 1{,}1918:
h = \frac{140\cdot 0{,}7265}{1 - \dfrac{0{,}7265}{1{,}1918}} = \frac{101{,}71}{0{,}3904} \approx 260{,}6 \text{ m}.
\boxed{h \approx 260{,}6 \text{ m}}
(Samme svar fås ved å regne i den lille trekanten mellom de to siktelinjene: den har grunnlinje 140 m, vinkler 36^\circ og 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ, og toppvinkel 14^\circ. Sinussetningen gir skråsiden BT = \dfrac{140\sin 36^\circ}{\sin 14^\circ} \approx 340{,}1 m, og deretter h = BT\cdot\sin 50^\circ \approx 260{,}6 m.)
Oppgave 4 (4 poeng)
Oppgave. Firkanten ABCD med AB = 8, BC = 12, CD = 8\sqrt{3}, \angle DAB = 60^\circ (i A) og \angle BCD = 30^\circ (i C). a) Bestem omkretsen eksakt. b) Bestem arealet eksakt.
Strategi. Vi trekker diagonalen BD og deler firkanten i trekant BCD (kjente BC = 12, CD = 8\sqrt{3}, mellomliggende vinkel 30^\circ) og trekant ABD (kjent AB = 8, vinkel 60^\circ i A).
Finn BD med cosinussetningen i trekant BCD:
BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2\cdot BC\cdot CD\cdot\cos 30^\circ = 144 + 192 - 2\cdot 12\cdot 8\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
Her er 2\cdot 12\cdot 8\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = 12\cdot 8\cdot 3 = 288, så
BD^2 = 336 - 288 = 48 \;\Longrightarrow\; BD = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}.
Finn AD med cosinussetningen i trekant ABD (\angle A = 60^\circ mellom AB og AD):
BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2\cdot AB\cdot AD\cdot\cos 60^\circ \;\Longrightarrow\; 48 = 64 + AD^2 - 2\cdot 8\cdot AD\cdot\tfrac12.
AD^2 - 8\,AD + 16 = 0 \;\Longrightarrow\; (AD - 4)^2 = 0 \;\Longrightarrow\; AD = 4.
a) Omkrets:
O = AB + BC + CD + DA = 8 + 12 + 8\sqrt{3} + 4 = 24 + 8\sqrt{3}.
\boxed{O = 24 + 8\sqrt{3} \approx 37{,}86}
b) Areal (sum av de to trekantene, hver med formelen \tfrac12 ab\sin C):
A_{ABD} = \tfrac12\cdot AB\cdot AD\cdot\sin 60^\circ = \tfrac12\cdot 8\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3},
A_{BCD} = \tfrac12\cdot BC\cdot CD\cdot\sin 30^\circ = \tfrac12\cdot 12\cdot 8\sqrt{3}\cdot \frac12 = 24\sqrt{3}.
A = 8\sqrt{3} + 24\sqrt{3} = 32\sqrt{3}.
\boxed{A = 32\sqrt{3} \approx 55{,}43}
Oppgave 5 (5 poeng)
Oppgave. a) f(x) = 2x^2 - 7x + 3: forklar at grafen har et bunnpunkt og bestem det. b) g(x) = ax^2 + bx + c med a > 0: bruk CAS til å vise at bunnpunktet er \left(-\tfrac{b}{2a},\, \tfrac{-b^2 + 4ac}{4a}\right). c) To tangenter til g i S(s, g(s)) og T(t, g(t)) skjærer hverandre i P; bruk CAS til å vise at x-koordinaten til P ligger midt mellom s og t.
a) Førstekoeffisienten er 2 > 0, så parabelen vender oppover og har derfor et bunnpunkt (minimumspunkt). Bunnpunktet er der f'(x) = 0:
f'(x) = 4x - 7 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{7}{4}.
f\!\left(\tfrac74\right) = 2\cdot\frac{49}{16} - 7\cdot\frac74 + 3 = \frac{49}{8} - \frac{49}{4} + 3 = \frac{49 - 98 + 24}{8} = -\frac{25}{8}.
\boxed{\text{Bunnpunkt } \left(\tfrac74,\, -\tfrac{25}{8}\right)}
b) CAS. I et CAS-verktøy (f.eks. GeoGebra CAS) deriverer vi g og løser g'(x) = 0:
g(x) := a*x^2 + b*x + c
Løs(g'(x) = 0, x) → x = -b/(2a)
g(-b/(2a)) → (4ac - b^2)/(4a)Vi får x-koordinaten -\dfrac{b}{2a}, og innsatt i g:
g\!\left(-\frac{b}{2a}\right) = a\cdot\frac{b^2}{4a^2} + b\cdot\left(-\frac{b}{2a}\right) + c = \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c = \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} = \frac{-b^2 + 4ac}{4a}.
Siden a > 0 er dette et minimum, altså bunnpunktet:
\boxed{\left(-\frac{b}{2a},\; \frac{-b^2 + 4ac}{4a}\right)}
c) CAS. Tangenten til g i et punkt (p, g(p)) er y = g(p) + g'(p)(x - p), med g'(x) = 2ax + b. Vi setter de to tangentlikningene (i s og t) lik hverandre og løser for x:
g(x) := a*x^2 + b*x + c
tS(x) := g(s) + g'(s)*(x - s)
tT(x) := g(t) + g'(t)*(x - t)
Løs(tS(x) = tT(x), x) → x = (s + t)/2For hånd: likningen g(s) + (2as + b)(x - s) = g(t) + (2at + b)(x - t) forenkles. Etter litt regning (leddene med x samles) får vi
2a(s - t)\,x = a(s^2 - t^2) + \ldots \;\Longrightarrow\; x = \frac{s + t}{2}.
Altså ligger x-koordinaten til skjæringspunktet P nøyaktig midt mellom s og t. \;\blacksquare
\boxed{x_P = \dfrac{s + t}{2}}
Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Kilde og fasit: matematikk.net. Ikke tilknyttet Utdanningsdirektoratet.