Matematikk 1T — Høst 2019

Løsningsforslag (Del 1 og Del 2) · MAT1013 · Høst 2019 · K06 · ✓ Sammenholdt m/ matematikk.net · Uoffisielt

Om dette løsningsforslaget. Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Oppgaveteksten er ikke gjengitt i sin helhet; hver oppgave vises med nummer og et kort sammendrag. Kilde: oppgaven og matematikk.net sitt løsningsforslag. Sluttsvar er sammenholdt med matematikk.net sin versjon — se den ved tvil.

DEL 1 — Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng)

Oppgave. Regn ut \dfrac{0{,}00046\cdot 25\,000\,000}{0{,}05} og skriv svaret på standardform.

Løsning. Vi skriver hvert tall på standardform først:

\frac{0{,}00046\cdot 25\,000\,000}{0{,}05} = \frac{4{,}6\cdot 10^{-4}\cdot 2{,}5\cdot 10^{7}}{5\cdot 10^{-2}}.

Multipliser teller og samle tierpotensene:

= \frac{4{,}6\cdot 2{,}5}{5}\cdot \frac{10^{-4+7}}{10^{-2}} = \frac{11{,}5}{5}\cdot 10^{\,3-(-2)} = 2{,}3\cdot 10^{5}.

\boxed{\,2{,}3\cdot 10^{5}\,}

Oppgave 2 (2 poeng)

Oppgave. Løs likningssystemet 2x+3y=6 og 5x+6y=18.

Løsning. Vi eliminerer y. Multipliser den første likningen med 2:

\begin{aligned} 4x + 6y &= 12\\ 5x + 6y &= 18 \end{aligned}

Trekk den øverste fra den nederste:

(5x-4x) = 18-12 \;\Longrightarrow\; x = 6.

Sett inn i 2x+3y=6: 12 + 3y = 6 \Rightarrow 3y = -6 \Rightarrow y = -2.

\boxed{x = 6,\quad y = -2}

Oppgave 3 (2 poeng)

Oppgave. Løs ulikheten -2(x+2)(x-4) > 0.

Løsning. Faktoren -2 er negativ. Del begge sider på -2 (ulikhetstegnet snur):

(x+2)(x-4) < 0.

Nullpunktene er x = -2 og x = 4. Parabelen (x+2)(x-4) åpner oppover, så den er negativ mellom nullpunktene:

\boxed{\,x \in \langle -2,\, 4\rangle\,}

Oppgave 4 (2 poeng)

Oppgave. Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig: \dfrac{2x^2+x+3}{x^2-9} - \dfrac{x}{x+3}.

Løsning. Faktoriser nevneren: x^2 - 9 = (x-3)(x+3). Fellesnevneren er (x-3)(x+3). Utvid det andre leddet med (x-3):

\frac{2x^2+x+3}{(x-3)(x+3)} - \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x^2+x+3 - (x^2-3x)}{(x-3)(x+3)}.

Telleren blir 2x^2 + x + 3 - x^2 + 3x = x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3). Dermed

\frac{(x+1)(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x+1}{x-3}.

\boxed{\,\dfrac{x+1}{x-3}\,}\qquad (x \neq \pm 3)

Oppgave 5 (5 poeng)

Oppgave. Løs likningene a) \lg(4x)=0, b) \lg\!\left(\dfrac{\sqrt{50}}{x}\right)=\dfrac12, c) 2^{x^2}\cdot 2^{3x}=16.

a) \lg(4x)=0 betyr 4x = 10^0 = 1, altså

\boxed{x = \tfrac14}.

b) \lg\!\left(\dfrac{\sqrt{50}}{x}\right)=\dfrac12 gir \dfrac{\sqrt{50}}{x} = 10^{1/2} = \sqrt{10}. Da er

x = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{50}{10}} = \boxed{\sqrt{5}}.

c) Samme grunntall, så vi legger sammen eksponentene: 2^{x^2+3x} = 2^4. Dermed x^2 + 3x = 4, altså x^2 + 3x - 4 = 0, som faktoriseres til (x+4)(x-1)=0:

\boxed{x = -4 \;\text{ eller }\; x = 1}.

Oppgave 6 (2 poeng)

Oppgave. En rett linje går gjennom (-7,-1) og (5,2). Bestem en likning for linjen ved regning.

Løsning. Stigningstallet:

a = \frac{2-(-1)}{5-(-7)} = \frac{3}{12} = \frac14.

Bruk ettpunktsformelen med punktet (5,2):

y - 2 = \frac14(x-5) \;\Longrightarrow\; y = \frac14 x - \frac54 + 2 = \frac14 x + \frac34.

\boxed{\,y = \tfrac14 x + \tfrac34\,}

Oppgave 7 (2 poeng)

Oppgave. Gitt likningen ax^2 + 3x + 1 = x - 2 med a \neq 0. Bestem en verdi av a slik at likningen bare har én løsning.

Løsning. Samle alt på én side:

ax^2 + 3x + 1 - x + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; ax^2 + 2x + 3 = 0.

En andregradslikning har nøyaktig én løsning når diskriminanten er null:

D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4\cdot a\cdot 3 = 4 - 12a = 0 \;\Longrightarrow\; a = \frac{4}{12} = \frac13.

\boxed{\,a = \tfrac13\,}

Oppgave 8 (4 poeng)

Oppgave. f(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6. a) Bestem f'(x). b) Bestem den momentane vekstfarten i (-3, f(-3)). c) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten i [-1, 2].

a) Deriver ledd for ledd:

\boxed{f'(x) = 3x^2 + 8x + 1}.

b) Momentan vekstfart i x = -3 er f'(-3):

f'(-3) = 3\cdot 9 + 8\cdot(-3) + 1 = 27 - 24 + 1 = \boxed{4}.

c) Gjennomsnittlig vekstfart i [-1,2] er

\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}.

Vi regner f(2) = 8 + 16 + 2 - 6 = 20 og f(-1) = -1 + 4 - 1 - 6 = -4. Da blir

\frac{20-(-4)}{3} = \frac{24}{3} = \boxed{8}.

Oppgave 9 (3 poeng)

Oppgave. \tfrac35 av elevene valgte fiskerett, resten kjøttrett. Halvparten av fiske-velgerne og \tfrac34 av kjøtt-velgerne ønsket dessert. a) Lag et valgtre. b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig elev ønsket dessert.

a) Valgtre. Første forgrening er rettvalg, andre er dessert/ikke dessert:

\begin{array}{l} \text{Fisk } \tfrac35 \;\Big\{\; \text{dessert } \tfrac12,\quad \text{ikke dessert } \tfrac12 \\[4pt] \text{Kjøtt } \tfrac25 \;\Big\{\; \text{dessert } \tfrac34,\quad \text{ikke dessert } \tfrac14 \end{array}

(Andelen kjøtt er 1 - \tfrac35 = \tfrac25.)

b) Vi følger «dessert»-grenene og legger sammen:

P(\text{dessert}) = \underbrace{\frac35\cdot\frac12}_{\text{fisk}} + \underbrace{\frac25\cdot\frac34}_{\text{kjøtt}} = \frac{3}{10} + \frac{6}{20} = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10}.

\boxed{P(\text{dessert}) = \tfrac35 = 0{,}6}

Oppgave 10 (3 poeng)

Oppgave. Fortegnsskjema for f(x) og f'(x) er gitt (skiftepunkter ved x=-3,\,2,\,4,\,7). Lag en skisse av hvordan grafen til f kan se ut.

Tolkning av fortegnslinjene. I figuren er det åpne sirkler på linja til f(x) i x=-3 og x=4, og på linja til f'(x) i x=-3, x=2 og x=7. Stiplet linje betyr negativ, heltrukken linje betyr positiv. Vi leser av:

Merk at f(x) er stiplet (negativ) på begge sider av x=-3 — funksjonsverdien er altså negativ der, ikke null. Først i x=4 skifter f fortegn. Tilsvarende er f'(x) heltrukken (positiv) på begge sider av x=7 — den deriverte er null akkurat i x=7, men beholder samme fortegn.

Tolkning av den deriverte f' (den bestemmer hvor f stiger og synker):

• f'(x) > 0 for x < -3 → grafen stiger, og f' skifter fra + til - i x=-3 → toppunkt i x=-3.
• f'(x) < 0 for -3 < x < 2 → grafen synker, og f' skifter fra - til + i x=2 → bunnpunkt i x=2.
• f'(x) > 0 for 2 < x < 7 og for x > 7 → grafen stiger hele veien fra x=2 og videre. I x=7 er f'(x)=0, men f' har samme fortegn (positiv) på begge sider → terrassepunkt i x=7 (vannrett tangent uten topp/bunn).

Tolkning av selve f (den forteller hvor grafen ligger i forhold til x-aksen):

• f er negativ på begge sider av x=-3 → grafen har et toppunkt under x-aksen i x=-3 (funksjonsverdien er negativ).
• f skifter fortegn fra - til + i x=4 → grafen krysser x-aksen i x=4 (på vei oppover).

Skisse (beskrivelse). Grafen kommer opp fra venstre (under aksen), stiger til et toppunkt i x=-3 som ligger under x-aksen (negativ verdi), synker så ned til et bunnpunkt i x=2 (fortsatt under aksen), stiger igjen og krysser x-aksen i x=4, fortsetter å stige, flater ut i et terrassepunkt i x=7 (vannrett tangent), og stiger så videre.

\boxed{\text{Toppunkt (negativ verdi) i } x=-3,\;\; \text{bunnpunkt i } x=2,\;\; \text{nullpunkt i } x=4,\;\; \text{terrassepunkt i } x=7.}

Oppgave 11 (4 poeng)

Oppgave. En rettvinklet, likebeint trekant har hypotenus 4\sqrt2. a) Bestem katetenes lengder. b) Bestem \tan v (basisvinkelen). c) Vis at \sin v = \dfrac{\sqrt2}{2}.

a) I en likebeint, rettvinklet trekant er de to katetene like lange. Kall dem k. Pytagoras gir

k^2 + k^2 = (4\sqrt2)^2 \;\Longrightarrow\; 2k^2 = 32 \;\Longrightarrow\; k^2 = 16 \;\Longrightarrow\; k = 4.

\boxed{\text{Begge kateter er } 4.}

b) Basisvinkelen v har motstående katet 4 og hosliggende katet 4:

\tan v = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}} = \frac{4}{4} = \boxed{1}.

(Trekanten er likebeint, så v = 45^\circ.)

c) Med motstående katet 4 og hypotenus 4\sqrt2:

\sin v = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}} = \frac{4}{4\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2} = \boxed{\frac{\sqrt2}{2}}.

Oppgave 12 (2 poeng)

Oppgave. En trekant har to sider 3\sqrt2 og 8 med mellomliggende vinkel 45^\circ. Bestem arealet.

Løsning. Arealsetningen med to sider og mellomliggende vinkel:

A = \frac12\,\cdot 3\sqrt2 \cdot 8 \cdot \sin 45^\circ = \frac12\cdot 3\sqrt2\cdot 8\cdot\frac{\sqrt2}{2}.

Vi regner: \sqrt2\cdot\sqrt2 = 2, så

A = \frac12\cdot 8\cdot 3\cdot \frac{2}{2} = \frac12\cdot 8\cdot 3 = \boxed{12}.

Merk. Det student­lagde løsningsforslaget hos matematikk.net oppgir 24, men har der glemt faktoren \tfrac12 i arealsetningen (A=\tfrac12 ab\sin C). Riktig areal er 12.

Oppgave 13 (3 poeng)

Oppgave. Stein løser \dfrac{\sin x}{10} = \dfrac{\sin 40^\circ}{8} og får x = 53{,}5^\circ. a) Bestem den andre løsningen. b) Lag skisser av de to trekantene.

a) Sinuslikninger har to løsninger i intervallet 0^\circ–180^\circ (en trekantvinkel): hvis x_1 er en løsning, er x_2 = 180^\circ - x_1 også en løsning, fordi \sin(180^\circ - x) = \sin x. Da blir

x_2 = 180^\circ - 53{,}5^\circ = \boxed{126{,}5^\circ}.

b) Skisser. Begge trekanter har en side 8 motstående en vinkel på 40^\circ, og en side 10 motstående vinkelen x:

• Trekant 1 (spiss): x = 53{,}5^\circ. De tre vinklene er 40^\circ, 53{,}5^\circ og 86{,}5^\circ. Dette er en spissvinklet trekant.
• Trekant 2 (stump): x = 126{,}5^\circ. De tre vinklene er 40^\circ, 126{,}5^\circ og 13{,}5^\circ. Dette er en stumpvinklet trekant.

I begge tilfeller ligger den lengste oppgitte siden (10) motstående den nest største vinkelen x; forskjellen er om x er spiss eller stump. Dette er det klassiske tvetydige tilfellet (SSA) der to sider og en motstående vinkel kan gi to ulike trekanter.

DEL 2 — Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng)

Oppgave. Symfyse-fundusmålet er G(x) = -0{,}0011x^3 + 0{,}097x^2 - 1{,}945x + 29{,}3 cm i uke x, for x \in [23, 42]. a) Tegn vekstkurven. b) Bestem momentan vekstfart i x = 29 og gi en praktisk tolkning. c) Gjennomsnittlig økning per uke fra uke 23 til uke 40.

a) Graftegner. Tegn G i et grafverktøy (f.eks. GeoGebra) for x \in [23, 42]. Kurven stiger jevnt fra G(23) \approx 22{,}5 cm til G(42) \approx 37{,}2 cm, med en svak avflating mot slutten — en realistisk vekstkurve for fosteret.

b) Momentan vekstfart i x=29. Vi deriverer:

G'(x) = -0{,}0033x^2 + 0{,}194x - 1{,}945.

Sett inn x = 29 (regnes med hjelpemiddel/CAS):

G'(29) = -0{,}0033\cdot 29^2 + 0{,}194\cdot 29 - 1{,}945 \approx 0{,}91.

\boxed{G'(29) \approx 0{,}91 \text{ cm/uke}}

Praktisk tolkning: I uke 29 øker symfyse-fundusmålet med omtrent 0{,}91 cm per uke. Det vil si at avstanden fra underlivsbeinet til toppen av livmoren vokser med rundt 0{,}9 cm i løpet av denne uka.

c) Gjennomsnittlig økning per uke fra uke 23 til uke 40.

\frac{G(40) - G(23)}{40 - 23} = \frac{36{,}3 - 22{,}494\ldots}{17} \approx \frac{13{,}81}{17} \approx 0{,}81.

\boxed{\approx 0{,}81 \text{ cm/uke}}

I gjennomsnitt øker symfyse-fundusmålet med ca. 0{,}81 cm per uke i dette tidsrommet.

Oppgave 2 (4 poeng)

Oppgave. 30 elever: 12 har tysk, 14 har 1T, 10 har verken tysk eller 1T. a) Sett opp krysstabell/venndiagram. b) P(\text{tysk, men ikke 1T}). c) Gitt at en elev ikke har 1T, P(\text{tysk}).

a) Krysstabell. Siden 10 har verken tysk eller 1T, har 30 - 10 = 20 elever minst ett av fagene. Antall som har begge fag:

|\text{tysk} \cap 1T| = 12 + 14 - 20 = 6.

Da fyller vi ut tabellen:

b) «Tysk, men ikke 1T» er ruta nede til venstre: 6 av 30 elever:

P(\text{tysk} \cap \overline{1T}) = \frac{6}{30} = \boxed{\tfrac15 = 0{,}2}.

c) Betinget sannsynlighet. Av de 16 som ikke har 1T, har 6 tysk:

P(\text{tysk}\mid \overline{1T}) = \frac{6}{16} = \boxed{\tfrac38 = 0{,}375}.

Oppgave 3 (3 poeng)

Oppgave. I figuren er \triangle ABC rettvinklet i C med AB = 13, AC = 12. ED står normalt på AB i D med AD = 9{,}6, og danner \triangle ADE. Bestem lengden ED.

Løsning. I \triangle ABC er \angle C = 90^\circ, så AB = 13 er hypotenusen. Pytagoras gir

BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5.

\triangle ADE og \triangle ACB er formlike: de deler vinkelen i A, og begge har en rett vinkel (\angle ADE = \angle ACB = 90^\circ). Forholdet mellom samsvarende sider er likt. Siden AD og AC er hosliggende katet til vinkel A, og ED og BC er motstående katet:

\frac{ED}{BC} = \frac{AD}{AC} \;\Longrightarrow\; ED = BC\cdot\frac{AD}{AC} = 5\cdot\frac{9{,}6}{12} = 5\cdot 0{,}8.

\boxed{ED = 4}

Oppgave 4 (3 poeng)

Oppgave. Firkant ABCD med AD = a, AC = 2a, BC = \sqrt3\,a, \angle ADC = 90^\circ og \angle BCD = 165^\circ. a) Bestem CD uttrykt ved a. b) Bestem AB uttrykt ved a.

a) I \triangle ACD er \angle ADC = 90^\circ, så AC = 2a er hypotenusen og AD = a, CD er katetene. Pytagoras:

CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = \boxed{\sqrt3\,a}.

b) Vi trenger vinkelen \angle ACB i \triangle ACB. Først finner vi \angle ACD i den rettvinklede trekanten ACD:

\cos(\angle ACD) = \frac{CD}{AC} = \frac{\sqrt3\,a}{2a} = \frac{\sqrt3}{2} \;\Longrightarrow\; \angle ACD = 30^\circ.

Diagonalen AC deler vinkelen ved C, så

\angle ACB = \angle BCD - \angle ACD = 165^\circ - 30^\circ = 135^\circ.

I \triangle ACB kjenner vi nå AC = 2a, BC = \sqrt3\,a og mellomliggende vinkel \angle ACB = 135^\circ. Cosinussetningen:

AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos 135^\circ.

Med \cos 135^\circ = -\dfrac{\sqrt2}{2}:

AB^2 = (2a)^2 + (\sqrt3\,a)^2 - 2\cdot 2a\cdot \sqrt3\,a\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right) = 4a^2 + 3a^2 + 2\sqrt6\,a^2 = (7 + 2\sqrt6)\,a^2.

Dermed

AB = a\sqrt{7 + 2\sqrt6}.

Uttrykket under rottegnet er et fullstendig kvadrat, siden (\sqrt6 + 1)^2 = 6 + 2\sqrt6 + 1 = 7 + 2\sqrt6. Da kan svaret skrives helt eksakt:

AB = a\sqrt{(\sqrt6 + 1)^2} = (\sqrt6 + 1)\,a \approx \boxed{3{,}45\,a}.

Oppgave 5 (8 poeng)

Oppgave. f(x) = x^3 - 2k\,x^2 + k^2 x med k > 0. a) Bestem nullpunktene. b) Bestem f'(x). c) Avgjør hvilken graf (A, B, C) som hører til f. d) Bruk CAS til å finne stigningstallet til linja gjennom topp- og bunnpunktet. e) Vis at f bare har én tangent med stigningstall -\tfrac13 k^2, og bestem tangeringspunktet T.

a) Nullpunkter. Faktoriser ut x:

f(x) = x(x^2 - 2k\,x + k^2) = x(x - k)^2.

Nullpunktene er der x = 0 eller (x-k)^2 = 0:

\boxed{x = 0 \;\text{ og }\; x = k}

(der x = k er et dobbelt nullpunkt).

b) Den deriverte.

f'(x) = 3x^2 - 4k\,x + k^2 = (x - k)(3x - k).

\boxed{f'(x) = 3x^2 - 4k\,x + k^2}

c) Hvilken graf? Argumentasjon ut fra a) og b):

• Ledende ledd er x^3 (positiv koeffisient), så grafen går mot +\infty til høyre og mot -\infty til venstre.
• Fra a) er begge nullpunktene ikke-negative (x=0 og x=k>0), og grafen tangerer x-aksen i det doble nullpunktet x = k (den krysser ikke der).
• Fra f'(x) = (x-k)(3x-k) er de stasjonære punktene x = \tfrac{k}{3} (toppunkt) og x = k (bunnpunkt). Begge ligger til høyre for y-aksen, og bunnpunktet ligger på x-aksen (f(k) = 0).

Grafen krysser altså i origo, stiger til et toppunkt, synker ned og berører x-aksen ved x = k, og stiger så videre — alt med begge vendepunktene på den positive x-siden og høyre gren oppover. Dette passer med

\boxed{\text{graf C}}.

(Graf A har høyre gren nedover — feil ledende koeffisient. Graf B er strengt voksende uten topp-/bunnpunkt — feil.)

d) Stigningstall for linja gjennom topp- og bunnpunkt (CAS). Topp- og bunnpunkt:

• Toppunkt: x = \tfrac{k}{3}, f\!\left(\tfrac{k}{3}\right) = \dfrac{4k^3}{27}.
• Bunnpunkt: x = k, f(k) = 0.

Stigningstallet til linja gjennom dem:

a = \frac{\dfrac{4k^3}{27} - 0}{\dfrac{k}{3} - k} = \frac{\dfrac{4k^3}{27}}{-\dfrac{2k}{3}} = \frac{4k^3}{27}\cdot\left(-\frac{3}{2k}\right) = -\frac{2k^2}{9}.

\boxed{a = -\dfrac{2k^2}{9}}

CAS (eksempel i GeoGebra): f(x):=x^3-2k x^2+k^2 x, Løs(f'(x)=0) gir x=\tfrac{k}{3} og x=k; deretter Stigning((k/3, f(k/3)), (k, f(k))) som gir -\tfrac{2}{9}k^2.

e) Tangent med stigningstall -\tfrac13 k^2. Tangentens stigningstall i et punkt er f'(x). Vi løser

f'(x) = -\frac13 k^2 \;\Longrightarrow\; 3x^2 - 4k\,x + k^2 = -\frac13 k^2.

Gang med 3 og samle:

9x^2 - 12k\,x + 3k^2 = -k^2 \;\Longrightarrow\; 9x^2 - 12k\,x + 4k^2 = 0.

Venstresiden er et fullstendig kvadrat:

9x^2 - 12k\,x + 4k^2 = (3x - 2k)^2 = 0.

Det gir nøyaktig én løsning, x = \tfrac{2k}{3} — derfor finnes det bare én slik tangent. Tilhørende funksjonsverdi:

f\!\left(\tfrac{2k}{3}\right) = \frac{2k}{3}\left(\frac{2k}{3} - k\right)^2 = \frac{2k}{3}\cdot\left(-\frac{k}{3}\right)^2 = \frac{2k}{3}\cdot\frac{k^2}{9} = \frac{2k^3}{27}.

\boxed{\,T = \left(\dfrac{2k}{3},\; \dfrac{2k^3}{27}\right)\,}

Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Kilde og fasit: matematikk.net. Ikke tilknyttet Utdanningsdirektoratet.