Matematikk 1T — Høst 2023

Løsningsforslag (Del 1 og Del 2) · MAT1021 · Høst 2023 · LK20 · ✓ Sammenholdt m/ matematikk.net · Uoffisielt

Om dette løsningsforslaget. Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Oppgaveteksten er ikke gjengitt i sin helhet; hver oppgave vises med nummer og et kort sammendrag. Kilde: oppgaven og matematikk.net sitt løsningsforslag. Sluttsvar er sammenholdt med matematikk.net sin versjon — se den ved tvil.

Vekting: Hver deloppgave teller likt, med unntak av oppgave 2 og 3 i Del 1 og oppgave 2, 3b og 6 i Del 2, som teller 1,5 ganger så mye som de andre deloppgavene.

DEL 1 — Uten hjelpemidler

Oppgave 1

Oppgave. En likesidet trekant har sidelengder 2 (se figur). Bruk trekanten til å vise at \cos 60^\circ = \tfrac12.

Løsning. I en likesidet trekant er alle vinklene 60^\circ. Vi trekker høyden fra toppunktet ned på grunnlinjen. Høyden står vinkelrett på grunnlinjen og halverer både toppvinkelen og grunnlinjen, fordi trekanten er symmetrisk.

Da får vi en rettvinklet trekant med

• hypotenus = 2 (en av sidene i den likesidete trekanten),
• den nederste vinkelen ved grunnlinjen er fortsatt 60^\circ,
• kateten hosliggende 60^\circ er den halve grunnlinjen = \tfrac{2}{2} = 1.

Cosinus til en vinkel i en rettvinklet trekant er hosliggende katet delt på hypotenus:

\cos 60^\circ = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{1}{2}.

\boxed{\cos 60^\circ = \tfrac12}

Oppgave 2 (teller 1,5×)

Oppgave. f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6. I hvilke punkter skjærer grafen x-aksen?

Løsning. Grafen skjærer x-aksen der f(x) = 0. Vi prøver heltallsdelere av konstantleddet -6 (altså \pm1, \pm2, \pm3, \pm6). Test x = 2:

f(2) = 8 + 8 - 10 - 6 = 0,

så x = 2 er en rot, og (x-2) er en faktor. Polynomdivisjon \left(x^3+2x^2-5x-6\right) : (x-2) gir

f(x) = (x-2)(x^2 + 4x + 3) = (x-2)(x+1)(x+3).

Nullpunktene er dermed x = 2, x = -1 og x = -3. Siden f(0) = -6, skjærer grafen x-aksen i tre punkter:

\boxed{(-3,\,0), \quad (-1,\,0) \quad \text{og} \quad (2,\,0)}

Oppgave 3 (teller 1,5×)

Oppgave. f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 4. Bestem likningen for tangenten til grafen i punktet (1, f(1)).

Løsning. Vi trenger f(1) (røringspunktet) og f'(1) (stigningstallet).

f(1) = 1 - 3 - 1 + 4 = 1,

så røringspunktet er (1, 1). Deriverer vi:

f'(x) = 3x^2 - 6x - 1 \;\Longrightarrow\; f'(1) = 3 - 6 - 1 = -4.

Tangenten har stigningstall -4 og går gjennom (1, 1). Ettpunktsformelen y - y_1 = a(x - x_1) gir

y - 1 = -4(x - 1) \;\Longrightarrow\; y = -4x + 5.

\boxed{y = -4x + 5}

Oppgave 4

Oppgave. To trekanter har begge to sider på 6. Den ene har mellomliggende vinkel 150^\circ, den andre har vinkel 32^\circ. Hvilken har størst areal? Begrunn.

Løsning. Arealet av en trekant der vi kjenner to sider og den mellomliggende vinkelen er

A = \frac12\,a\,b\,\sin V.

Begge trekantene har a = b = 6, så arealet bestemmes bare av \sin V. Vi sammenligner \sin 150^\circ og \sin 32^\circ.

Husk at \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 150^\circ) = \sin 30^\circ = \tfrac12. Vinkelen 32^\circ ligger mellom 0^\circ og 30^\circ… nei — 32^\circ er litt større enn 30^\circ. På intervallet 0^\circ til 90^\circ er sinus voksende, så

\sin 32^\circ > \sin 30^\circ = \tfrac12 = \sin 150^\circ.

Dermed er \sin 32^\circ > \sin 150^\circ, og trekanten med vinkelen 32^\circ har størst areal.

Kontroll: A_{150^\circ} = \tfrac12\cdot 6\cdot 6\cdot \tfrac12 = 9, mens A_{32^\circ} = \tfrac12\cdot 6\cdot 6\cdot \sin 32^\circ \approx 18\cdot 0{,}530 \approx 9{,}5.

\boxed{\text{Trekanten med vinkel } 32^\circ \text{ har størst areal.}}

Oppgave 5

Oppgave. f(x) = \dfrac{2x-8}{x+2} og g(x) = \dfrac{x^2-4}{(x-3)(x+3)}. Av seks grafer A–F: a) hvilken er grafen til f? b) hvilken er grafen til g? Begrunn.

a) Grafen til f. Vi finner kjennetegnene til f(x) = \dfrac{2x-8}{x+2}:

• Vertikal asymptote: nevneren er null for x = -2 (én vertikal asymptote, til venstre for y-aksen).
• Horisontal asymptote: teller og nevner har samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter er \tfrac{2}{1} = 2. Altså y = 2 (over x-aksen). Vi kan også skrive f(x) = 2 - \dfrac{12}{x+2}.
• Nullpunkt: 2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4.
• Skjæring med y-aksen: f(0) = \dfrac{-8}{2} = -4.

Vi leter etter en graf med én vertikal asymptote til venstre for y-aksen og en positiv horisontal asymptote y = 2, som går gjennom (0,-4) og krysser x-aksen i x = 4. Dette passer med graf C (A og B har horisontal asymptote under x-aksen).

\boxed{f \text{ er graf C}}

b) Grafen til g. Vi forenkler og finner kjennetegnene:

g(x) = \frac{x^2-4}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+3)}.

• Vertikale asymptoter: x = 3 og x = -3 (to asymptoter, symmetrisk om y-aksen).
• Horisontal asymptote: samme grad i teller og nevner, ledende koeffisienter \tfrac{1}{1} = 1, altså y = 1 (over x-aksen).
• Nullpunkter: x = 2 og x = -2.
• Skjæring med y-aksen: g(0) = \dfrac{-4}{-9} = \dfrac49 \approx 0{,}44 (positiv).

g er en like funksjon (symmetrisk om y-aksen). Vi leter etter en graf med to symmetriske vertikale asymptoter x = \pm 3, horisontal asymptote y = 1 over x-aksen, en midtbue som topper over x-aksen i (0; 0{,}44) og krysser x-aksen i \pm 2. Dette passer med graf F.

\boxed{g \text{ er graf F}}

DEL 2 — Med hjelpemidler

Oppgave 1

Oppgave. Folketallsmodell F(x) = \dfrac{1}{1000}\left(0{,}027x^3 - 5{,}8x^2 + 220x + 7900\right) (i tusen innbyggere), x år etter 1960, x \in [0, 80]. a) Vis på to ulike måter når folketallet var høyest. b) Stigningstallet til linjen gjennom (30, F(30)) og (70, F(70)), med tolkning. c) Når minker folketallet raskest?

a) Når var folketallet høyest? (to metoder)

Metode 1 — graftegner. Tegn F i et digitalt verktøy på [0, 80] og bruk «maksimum / toppunkt»-funksjonen. Verktøyet gir et toppunkt ved x \approx 22{,}5 med F \approx 10{,}2.

Metode 2 — derivasjon (CAS). Folketallet er størst der F'(x) = 0:

F'(x) = \frac{1}{1000}\left(0{,}081x^2 - 11{,}6x + 220\right) = 0.

Abc-formelen gir x \approx 22{,}5 og x \approx 120{,}7. Bare x \approx 22{,}5 ligger i [0, 80]. Sjekk endepunktene: F(0) = 7{,}9, F(80) = 2{,}2, mens F(22{,}5) \approx 10{,}2. Toppen er altså inne i intervallet.

\boxed{\text{Folketallet var høyest } x \approx 22{,}5 \text{ år etter 1960 (i 1982), med ca. } 10\,200 \text{ innbyggere.}}

b) Stigningstallet (gjennomsnittlig vekstfart). Linjen gjennom (30, F(30)) og (70, F(70)):

F(30) \approx 10{,}009, \qquad F(70) \approx 4{,}141.

a = \frac{F(70) - F(30)}{70 - 30} = \frac{4{,}141 - 10{,}009}{40} \approx -0{,}147.

\boxed{a \approx -0{,}147}

Tolkning: I gjennomsnitt sank folketallet med ca. 0{,}147 tusen = 147 innbyggere per år i perioden fra 30 til 70 år etter 1960 (altså 1990–2030 ifølge modellen).

c) Når minker folketallet raskest? Folketallet minker raskest der vekstfarten F'(x) er minst (mest negativ), altså der F''(x) = 0 (vendepunktet):

F''(x) = \frac{1}{1000}\left(0{,}162x - 11{,}6\right) = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{11{,}6}{0{,}162} \approx 71{,}6.

\boxed{\text{Folketallet minker raskest ca. } x \approx 71{,}6 \text{ år etter 1960 (i 2031).}}

Oppgave 2 (teller 1,5×)

Oppgave. Firkanten ABCD er delt av diagonalen DB = 12 i to trekanter. I trekant ABD er \angle DAB = 125^\circ og \angle DBA = 35^\circ. I trekant BCD er DC = 8, CB = 6 og DB = 12. Bestem arealet av firkanten med trigonometri, og gjør rede for sammenhengene du bruker.

Løsning. Vi deler firkanten langs diagonalen DB og finner arealet av hver trekant for seg.

Trekant ABD (vinkelsummen og arealsetningen). Vinkelsummen i en trekant er 180^\circ, så

\angle ADB = 180^\circ - 125^\circ - 35^\circ = 20^\circ.

Vi kjenner siden DB = 12 og de to vinklene den ligger mellom (\angle DBA = 35^\circ ved B og \angle ADB = 20^\circ ved D). Med sinussetningen finner vi de to andre sidene:

\frac{AD}{\sin(\angle DBA)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{DB}{\sin(\angle DAB)}.

AD = \frac{12\,\sin 35^\circ}{\sin 125^\circ} \approx 8{,}40, \qquad AB = \frac{12\,\sin 20^\circ}{\sin 125^\circ} \approx 5{,}01.

Arealet med arealsetningen (to sider og mellomliggende vinkel \angle DAB = 125^\circ):

A_{ABD} = \frac12\,AB\cdot AD\cdot \sin(\angle DAB) \approx \frac12\cdot 5{,}01\cdot 8{,}40\cdot \sin 125^\circ \approx 17{,}24.

Trekant BCD (cosinussetningen + arealsetningen). Her kjenner vi alle tre sidene DC = 8, CB = 6, DB = 12. Vi finner vinkelen \angle BCD med cosinussetningen:

DB^2 = DC^2 + CB^2 - 2\cdot DC\cdot CB\cdot \cos(\angle BCD)

12^2 = 8^2 + 6^2 - 2\cdot 8\cdot 6\cdot \cos(\angle BCD) \;\Longrightarrow\; \cos(\angle BCD) = \frac{64 + 36 - 144}{96} = -\frac{44}{96} = -0{,}4583,

så \angle BCD \approx 117{,}3^\circ. Arealet med arealsetningen:

A_{BCD} = \frac12\,DC\cdot CB\cdot \sin(\angle BCD) \approx \frac12\cdot 8\cdot 6\cdot \sin 117{,}3^\circ \approx 21{,}33.

Samlet areal av firkanten:

A = A_{ABD} + A_{BCD} \approx 17{,}24 + 21{,}33 = 38{,}57.

\boxed{A \approx 38{,}6}

Oppgave 3

Oppgave. Linjestykker settes sammen til en figur. Hvert linjestykke er 90\,\% av det forrige; det første er 100 cm. a) Sum av lengdene av de 8 første. b) Program som regner ut summen av n linjestykker; hvor mange trengs for at summen blir minst 9 meter? c) Hvor mange prosent øker summen når antallet økes fra 50 til 100?

Mønster. Lengdene er en geometrisk rekke med a_1 = 100 cm og kvotient k = 0{,}9. Summen av de n første:

S_n = a_1\cdot\frac{1 - k^n}{1 - k} = 100\cdot\frac{1 - 0{,}9^{\,n}}{1 - 0{,}9} = 1000\,(1 - 0{,}9^{\,n}).

a) Med n = 8:

S_8 = 1000\,(1 - 0{,}9^{\,8}) = 1000\,(1 - 0{,}43047) \approx 569{,}5 \text{ cm}.

\boxed{S_8 \approx 569{,}5 \text{ cm} \approx 5{,}7 \text{ m}}

b) 9 meter = 900 cm. Vi løser S_n \ge 900, dvs. 1000\,(1 - 0{,}9^{\,n}) \ge 900 \Rightarrow 0{,}9^{\,n} \le 0{,}1. Programmet under summerer til summen passerer 900 cm.

def sum_lengder(n):
    s, ledd = 0.0, 100.0          # første linjestykke er 100 cm
    for _ in range(n):
        s += ledd
        ledd *= 0.9               # neste er 90 % av forrige
    return s

# Hvor mange trengs for minst 9 meter (900 cm)?
n = 0
s = 0.0
ledd = 100.0
while s < 900:
    s += ledd
    ledd *= 0.9
    n += 1
print(n, round(s, 1))             # 22 901.5

#include <iostream>
#include <cmath>
int main() {
    double s = 0.0, ledd = 100.0;   // første linjestykke 100 cm
    int n = 0;
    while (s < 900) {
        s += ledd;
        ledd *= 0.9;                // 90 % av forrige
        ++n;
    }
    std::cout << n << " " << s << "\n";  // 22 901.523
    return 0;
}

Programmet gir n = 22 (med S_{22} \approx 901{,}5 cm). S_{21} \approx 890{,}6 cm er ikke nok.

\boxed{\text{Vi må ha med } 22 \text{ linjestykker.}}

c) Vi sammenligner S_{100} og S_{50}:

S_{50} = 1000\,(1 - 0{,}9^{\,50}) \approx 994{,}85, \qquad S_{100} = 1000\,(1 - 0{,}9^{\,100}) \approx 999{,}97.

Prosentvis økning:

\frac{S_{100} - S_{50}}{S_{50}}\cdot 100\,\% = \frac{999{,}97 - 994{,}85}{994{,}85}\cdot 100\,\% \approx 0{,}51\,\%.

\boxed{\text{Økningen er ca. } 0{,}5\,\%.}

Kommentar: Summen nærmer seg grenseverdien \dfrac{a_1}{1-k} = \dfrac{100}{0{,}1} = 1000 cm = 10 m, så å doble antallet fra 50 til 100 gir nesten ingen tilvekst.

Oppgave 4

Oppgave. Tabell over antall fiskere i Norge (hovedyrke) i 1952–2022. La x = år etter 1950. a) Lag en modell F. b) Hvor mange i 2050 ifølge modellen? Vurder gyldighetsområdet.

a) Modell. Tallene faller raskt i starten og flater ut — det er typisk for eksponentiell nedgang. Vi gjør en eksponentiell regresjon (regneark/CAS) på formen F(x) = a\cdot b^{\,x} og får

a \approx 66\,360, \qquad b \approx 0{,}9714.

\boxed{F(x) \approx 66\,360\cdot 0{,}9714^{\,x}}

Modellen sier at antallet fiskere synker med ca. 2{,}9\,\% per år.

b) Antall i 2050. År 2050 svarer til x = 100:

F(100) \approx 66\,360\cdot 0{,}9714^{\,100} \approx 3\,658.

\boxed{\text{Ca. } 3\,658 \text{ fiskere i 2050 ifølge modellen.}}

Vurdering av gyldighetsområdet: Dataene dekker x \in [2, 72]. En prediksjon for x = 100 ligger langt utenfor dette området (ekstrapolasjon), så svaret er usikkert. Modellen passer dessuten dårligst i den siste delen: de to siste målingene (2012 og 2022) er omtrent like store, mens en ren eksponentialmodell fortsetter å synke mot null. I virkeligheten ser nedgangen ut til å flate ut, så modellen vil trolig undervurdere antallet i 2050. Tallet 3\,700 bør tolkes med stor forsiktighet.

Oppgave 5

Oppgave. f(x) = 2x + 8 og g(x) = x^3 - x^2 - 4x + 8. Linjen x = 1 skjærer f i P og g i Q. a) Bestem avstanden PQ. b) For en ny linje x = a med a \in \langle 1, 3\rangle kalles skjæringen med f for R og med g for S. Bestem a slik at RS blir størst mulig. Skriv svaret eksakt.

a) Avstanden PQ. Begge punktene har x = 1, så avstanden er forskjellen i y-verdi:

P = (1,\, f(1)) = (1,\, 2 + 8) = (1, 10), Q = (1,\, g(1)) = (1,\, 1 - 1 - 4 + 8) = (1, 4).

PQ = |10 - 4| = 6.

\boxed{PQ = 6}

b) Største avstand RS. På linjen x = a er R = (a, f(a)) og S = (a, g(a)). Av figuren ligger linjen f over g i intervallet, så avstanden er

h(a) = f(a) - g(a) = (2a + 8) - (a^3 - a^2 - 4a + 8) = -a^3 + a^2 + 6a.

Vi maksimerer h på \langle 1, 3\rangle ved å derivere:

h'(a) = -3a^2 + 2a + 6 = 0 \;\Longrightarrow\; 3a^2 - 2a - 6 = 0.

a = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 72}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{76}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{19}}{3}.

Bare a = \dfrac{1 + \sqrt{19}}{3} \approx 1{,}79 ligger i \langle 1, 3\rangle. Siden h' skifter fra positiv til negativ her, er det et maksimum.

\boxed{a = \frac{1 + \sqrt{19}}{3}}

(Den største avstanden blir da RS = h(a) \approx 8{,}2.)

Oppgave 6 (teller 1,5×)

Oppgave. Tredjegradsfunksjon f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 64. Punktet (-8, 0) er et toppunkt, og den gjennomsnittlige vekstfarten i [0, 5] er \tfrac{64}{5}. Bestem a, b og c.

Løsning. Vi setter opp tre likninger fra de tre opplysningene.

(1) (-8, 0) ligger på grafen: f(-8) = 0:

a(-8)^3 + b(-8)^2 + c(-8) - 64 = 0 \;\Longrightarrow\; -512a + 64b - 8c - 64 = 0.

(2) (-8, 0) er et toppunkt \Rightarrow f'(-8) = 0. Med f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c:

3a(-8)^2 + 2b(-8) + c = 0 \;\Longrightarrow\; 192a - 16b + c = 0.

(3) Gjennomsnittlig vekstfart i [0, 5] er \tfrac{64}{5}:

\frac{f(5) - f(0)}{5 - 0} = \frac{64}{5}.

Her er f(0) = -64, og f(5) = 125a + 25b + 5c - 64, så f(5) - f(0) = 125a + 25b + 5c. Da blir

\frac{125a + 25b + 5c}{5} = \frac{64}{5} \;\Longrightarrow\; 125a + 25b + 5c = 64.

Løser vi de tre likningene (CAS) får vi

a = \frac{1}{5}, \qquad b = \frac{11}{5}, \qquad c = -\frac{16}{5}.

\boxed{a = \tfrac15,\quad b = \tfrac{11}{5},\quad c = -\tfrac{16}{5}}

Kontroll: f(x) = \tfrac15 x^3 + \tfrac{11}{5}x^2 - \tfrac{16}{5}x - 64 gir f(-8) = 0 og f''(-8) = -\tfrac{26}{5} < 0, så (-8,0) er virkelig et toppunkt. ✓

Oppgave 7

Oppgave. f(x) = \dfrac{8}{x^2 + 20}. Et rektangel har hjørner i (0,0), (k,0), (k, f(k)) og (0, f(k)). a) Areal når k = 5. b) Lag en systematisk oversikt over arealene for n \in \{1, 2, \dots, 10\}. c) Bestem k slik at arealet blir størst mulig.

a) Areal når k = 5. Rektangelet har bredde k og høyde f(k), så arealet er A(k) = k\cdot f(k). Med k = 5:

f(5) = \frac{8}{5^2 + 20} = \frac{8}{45}, \qquad A(5) = 5\cdot\frac{8}{45} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9} \approx 0{,}89.

\boxed{A(5) = \tfrac89 \approx 0{,}89}

b) Systematisk oversikt for n = 1, \dots, 10. Arealet er A(n) = \dfrac{8n}{n^2 + 20}.

Vi ser at arealet er størst for n = 4 og n = 5 (begge gir nøyaktig \tfrac89 \approx 0{,}889), og avtar igjen for større n.

def areal(n):
    return n * 8 / (n**2 + 20)

for n in range(1, 11):
    print(n, round(areal(n), 3))
# 1 0.381 | 2 0.667 | 3 0.828 | 4 0.889 | 5 0.889
# 6 0.857 | 7 0.812 | 8 0.762 | 9 0.713 | 10 0.667

#include <iostream>
#include <iomanip>
int main() {
    for (int n = 1; n <= 10; ++n) {
        double A = n * 8.0 / (n * n + 20);
        std::cout << n << " " << std::fixed << std::setprecision(3) << A << "\n";
    }
    // 4 0.889 og 5 0.889 er størst
    return 0;
}

c) Største areal (eksakt). Vi maksimerer A(k) = \dfrac{8k}{k^2 + 20} for k > 0. Deriverer med brøkregelen:

A'(k) = \frac{8(k^2 + 20) - 8k\cdot 2k}{(k^2 + 20)^2} = \frac{8(20 - k^2)}{(k^2 + 20)^2}.

A'(k) = 0 når 20 - k^2 = 0, altså k^2 = 20 \Rightarrow k = \sqrt{20} = 2\sqrt5 (positiv verdi). A' skifter fra positiv til negativ her, så det er et maksimum.

\boxed{k = 2\sqrt5 \approx 4{,}47}

Største areal blir A(2\sqrt5) = \dfrac{8\cdot 2\sqrt5}{20 + 20} = \dfrac{16\sqrt5}{40} = \dfrac{2\sqrt5}{5} \approx 0{,}894.

Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Kilde og fasit: matematikk.net. Ikke tilknyttet Utdanningsdirektoratet.