Matematikk 1T — Vår 2015

Løsningsforslag (Del 1 og Del 2) · MAT1013 · Vår 2015 · K06 · ✓ Sammenholdt m/ matematikk.net · Uoffisielt

Om dette løsningsforslaget. Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Oppgaveteksten er ikke gjengitt i sin helhet; hver oppgave vises med nummer og et kort sammendrag. Kilde: oppgaven og matematikk.net sitt løsningsforslag. Sluttsvar er sammenholdt med matematikk.net sin versjon — se den ved tvil.

DEL 1 — Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng)

Oppgave. Regn ut \dfrac{7{,}5\cdot 10^{15}}{0{,}003} og skriv svaret på standardform.

Løsning. Vi deler tallene og potensene hver for seg. Skriv 0{,}003 = 3\cdot 10^{-3}:

\frac{7{,}5\cdot 10^{15}}{3\cdot 10^{-3}} = \frac{7{,}5}{3}\cdot 10^{15-(-3)} = 2{,}5\cdot 10^{18}.

\boxed{2{,}5\cdot 10^{18}}

Oppgave 2 (2 poeng)

Oppgave. Løs likningssystemet x + 6y = 1 og 2x + 4y = -6.

Løsning. Fra den første likningen er x = 1 - 6y. Sett inn i den andre:

2(1 - 6y) + 4y = -6 \;\Longrightarrow\; 2 - 12y + 4y = -6 \;\Longrightarrow\; -8y = -8 \;\Longrightarrow\; y = 1.

Da blir x = 1 - 6\cdot 1 = -5.

\boxed{x = -5,\quad y = 1}

Oppgave 3 (2 poeng)

Oppgave. Løs ulikheten x^2 - 3x - 10 > 0.

Løsning. Vi finner nullpunktene til x^2 - 3x - 10:

x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2} \;\Longrightarrow\; x = -2 \;\text{eller}\; x = 5.

Så x^2 - 3x - 10 = (x+2)(x-5). Parabelen åpner oppover, så uttrykket er positivt utenfor nullpunktene:

\boxed{\,x < -2 \;\text{eller}\; x > 5\,}

Oppgave 4 (4 poeng)

Oppgave. Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig. a) 4^{\frac12}\cdot 8^0\cdot 2^{-1}\cdot \sqrt[4]{16}. b) \sqrt{18}\cdot\sqrt{2} + \dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}.

a) Vi regner faktor for faktor:

4^{\frac12} = \sqrt{4} = 2, \qquad 8^0 = 1, \qquad 2^{-1} = \tfrac12, \qquad \sqrt[4]{16} = 2.

Da blir

4^{\frac12}\cdot 8^0\cdot 2^{-1}\cdot \sqrt[4]{16} = 2\cdot 1\cdot \tfrac12\cdot 2 = \boxed{2}.

b) Bruk at \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab} og \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}:

\sqrt{18}\cdot\sqrt{2} = \sqrt{36} = 6, \qquad \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{72}{8}} = \sqrt{9} = 3.

\sqrt{18}\cdot\sqrt{2} + \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}} = 6 + 3 = \boxed{9}.

Oppgave 5 (2 poeng)

Oppgave. Løs likningen \lg(x^2 - 0{,}9) = -1.

Løsning. Per definisjon av tierlogaritmen er \lg(u) = -1 \Leftrightarrow u = 10^{-1} = 0{,}1. Dermed

x^2 - 0{,}9 = 0{,}1 \;\Longrightarrow\; x^2 = 1 \;\Longrightarrow\; x = \pm 1.

Begge gir et positivt argument inni logaritmen (x^2 - 0{,}9 = 0{,}1 > 0), så begge er gyldige.

\boxed{x = -1 \;\text{eller}\; x = 1}

Oppgave 6 (1 poeng)

Oppgave. Bestem b slik at x^2 + bx + 16 blir et fullstendig kvadrat.

Løsning. Et fullstendig kvadrat har formen (x + c)^2 = x^2 + 2cx + c^2. Sammenlign konstantleddene: c^2 = 16 \Rightarrow c = \pm 4. Da blir b = 2c:

\boxed{b = 8 \;\text{eller}\; b = -8}

(Sjekk: x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2 og x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2.)

Oppgave 7 (2 poeng)

Oppgave. Skriv så enkelt som mulig: 2x(x-2) - (x-2)(2x+1).

Løsning. Begge ledd har felles faktor (x-2):

2x(x-2) - (x-2)(2x+1) = (x-2)\big[\,2x - (2x+1)\,\big] = (x-2)(-1) = -(x-2).

\boxed{2 - x}

Oppgave 8 (2 poeng)

Oppgave. Skriv så enkelt som mulig: \dfrac{x^2 - 12x + 36}{2x^2 - 72}.

Løsning. Faktoriser teller og nevner. Telleren er et fullstendig kvadrat, og nevneren har felles faktor 2:

x^2 - 12x + 36 = (x-6)^2, \qquad 2x^2 - 72 = 2(x^2 - 36) = 2(x-6)(x+6).

Forkort med (x-6):

\frac{(x-6)^2}{2(x-6)(x+6)} = \boxed{\dfrac{x-6}{2(x+6)}}.

Oppgave 9 (2 poeng)

Oppgave. En rett linje går gjennom punktene (-1, 2) og (3, 4). Bestem likningen ved regning.

Løsning. Stigningstallet er

a = \frac{4 - 2}{3 - (-1)} = \frac{2}{4} = \frac12.

Sett inn punktet (-1, 2) i y = ax + b:

2 = \tfrac12\cdot(-1) + b \;\Longrightarrow\; b = 2 + \tfrac12 = \tfrac52.

\boxed{y = \tfrac12 x + \tfrac52}

Oppgave 10 (5 poeng)

Oppgave. To rettvinklede trekanter er gitt. \triangle ABC har \angle A = 30^\circ, \angle C = 60^\circ, rett vinkel i B, hypotenus AC = 2 og katet BC = 1. \triangle DEF har \angle D = \angle F = 45^\circ, rett vinkel i E, og kateter DE = EF = 1. a) Bestem eksakte verdier for AB og DF. b) Fyll ut tabellen med eksakte verdier for \sin u, \cos u, \tan u for u = 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ.

a) I \triangle ABC er AB den siste kateten. Pytagoras gir

AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \boxed{\sqrt{3}}.

I \triangle DEF er DF hypotenusen. Pytagoras gir

DF = \sqrt{DE^2 + EF^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \boxed{\sqrt{2}}.

b) Vi leser av forholdene i trekantene. I \triangle ABC (med AC=2, BC=1, AB=\sqrt3) er BC motstående \angle A = 30^\circ og AB motstående \angle C = 60^\circ. I \triangle DEF er begge kateter 1 og hypotenus \sqrt2.

For eksempel: \tan 30^\circ = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{3}, og \sin 60^\circ = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{\sqrt3}{2}.

Oppgave 11 (5 poeng)

Oppgave. Ni smoothieflasker: 2 «Surf», 3 «Jump», 4 «Catch». Du trekker tilfeldig 2 flasker. a) P(\text{ingen Jump}). b) P(\text{én Surf og én Catch}). c) P(\text{to like}).

Grunnlag. Antall måter å trekke 2 av 9 flasker er \binom{9}{2} = 36.

a) «Ingen Jump» betyr at begge trekkes blant de 2+4 = 6 ikke-Jump-flaskene:

P(\text{ingen Jump}) = \frac{\binom{6}{2}}{\binom{9}{2}} = \frac{15}{36} = \boxed{\dfrac{5}{12}}.

b) Velg én av 2 Surf og én av 4 Catch:

P(\text{1 Surf og 1 Catch}) = \frac{\binom{2}{1}\cdot\binom{4}{1}}{\binom{9}{2}} = \frac{2\cdot 4}{36} = \frac{8}{36} = \boxed{\dfrac{2}{9}}.

c) «To like» betyr to Surf, to Jump eller to Catch:

P(\text{to like}) = \frac{\binom{2}{2} + \binom{3}{2} + \binom{4}{2}}{\binom{9}{2}} = \frac{1 + 3 + 6}{36} = \frac{10}{36} = \boxed{\dfrac{5}{18}}.

Oppgave 12 (6 poeng)

Oppgave. f(x) = -2x^2 + 4x + 6. a) Bestem skjæringspunktene mellom grafen til f og koordinataksene ved regning. b) Tegn grafen for x \in [-2, 4]. c) g(x) = 2x + 2; løs f(x) = g(x) grafisk.

a) Skjæring med y-aksen (x = 0): f(0) = 6, altså punktet (0, 6).

Skjæring med x-aksen (f(x) = 0): vi løser -2x^2 + 4x + 6 = 0, eller x^2 - 2x - 3 = 0:

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \;\Longrightarrow\; x = -1 \;\text{eller}\; x = 3.

Skjæringspunktene blir

\boxed{(-1,\,0),\quad (3,\,0)\quad \text{og}\quad (0,\,6)}.

b) Parabelen åpner nedover (negativ andregradskoeffisient). Toppunktet ligger i x = -\dfrac{4}{2\cdot(-2)} = 1, med f(1) = -2 + 4 + 6 = 8, altså (1, 8). Tegn en glatt parabel gjennom (-2, -10), (-1, 0), (0, 6), (1, 8), (3, 0) og (4, -10).

c) Tegn linjen g(x) = 2x + 2 i samme koordinatsystem. Skjæringspunktene mellom de to grafene gir løsningen. Ved regning (til kontroll) løser vi -2x^2 + 4x + 6 = 2x + 2, dvs. 2x^2 - 2x - 4 = 0, dvs. x^2 - x - 2 = 0 = (x-2)(x+1), så x = -1 og x = 2. Avlest grafisk:

\boxed{x = -1 \;\text{eller}\; x = 2}.

Oppgave 13 (2 poeng)

Oppgave. Et stramt tau ligger rundt jordas ekvator (jorda tenkt som kule). Tauet forlenges med 20 m og legges som en konsentrisk sirkel. Kan du gå under tauet?

Løsning. La jordradien være r. Da er ekvatorlengden 2\pi r. Det nye tauet har lengde 2\pi r + 20 og radius R der 2\pi R = 2\pi r + 20. Avstanden fra bakken opp til tauet er

R - r = \frac{2\pi r + 20}{2\pi} - r = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi} \approx 3{,}18 \text{ m}.

Avstanden er uavhengig av jordradien. Siden \dfrac{10}{\pi} \approx 3{,}2 m er langt mer enn en menneskehøyde,

\boxed{\text{ja — du kan gå under tauet (klaring} \approx 3{,}2 \text{ m).}}

DEL 2 — Med hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng)

Oppgave. Antall «liker» x dager etter 31. mars er f(x) = 80\cdot 1{,}045^{\,x} (x = 0 er 31. mars). a) Hvor mange likte siden før 1. april, og hvor mange prosent øker antallet per dag? b) Passerer antallet 1000 innen utgangen av mai? c) Bestem f(16) og f'(16) og forklar hva de forteller.

a) «Før 1. april» svarer til x = 0:

f(0) = 80\cdot 1{,}045^{\,0} = 80.

Vekstfaktoren er 1{,}045, som betyr en daglig økning på \boxed{80 \text{ personer, og } 4{,}5\,\% \text{ vekst per dag}}.

b) Utgangen av mai svarer til x = 61 (30 dager i april gir x=30 for 30. april, og 31 dager i mai gir x = 61 for 31. mai). Vi regner

f(61) = 80\cdot 1{,}045^{\,61} \approx 1173.

Løser vi 80\cdot 1{,}045^{\,x} = 1000, får vi x = \dfrac{\lg(1000/80)}{\lg 1{,}045} \approx 57{,}4, altså passeres 1000 rundt 27. mai.

\boxed{\text{Ja — antallet passerer 1000 i slutten av mai } (f(61)\approx 1173).}

c) Med f(x) = 80\cdot 1{,}045^{\,x} er f'(x) = 80\cdot 1{,}045^{\,x}\cdot\ln 1{,}045. Da blir

f(16) = 80\cdot 1{,}045^{16} \approx 162, \qquad f'(16) = f(16)\cdot\ln 1{,}045 \approx 7{,}1.

\boxed{f(16) \approx 162,\quad f'(16) \approx 7{,}1}

Tolkning: 16 dager etter 31. mars (altså 16. april) hadde om lag 162 personer klikket «liker», og antallet vokste da med om lag 7{,}1 nye «liker» per dag.

Oppgave 2 (5 poeng)

Oppgave. Firkanten ABCD med diagonal BD = 8. Av figuren: rett vinkel i C, \angle BDC = 30^\circ (over diagonalen), \angle DAB = 30^\circ og \angle DBA = 45^\circ (under diagonalen). Bruk CAS til å bestemme sidene eksakt.

Løsning. Diagonalen BD deler firkanten i to trekanter: \triangle BCD over og \triangle ABD under.

Trekant BCD (rett vinkel i C, \angle BDC = 30^\circ, hypotenus BD = 8):

CD = BD\cos 30^\circ = 8\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3, \qquad BC = BD\sin 30^\circ = 8\cdot\frac12 = 4.

Trekant ABD (\angle DAB = 30^\circ, \angle DBA = 45^\circ, dermed \angle ADB = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ). Sinussetningen med BD = 8 motstående \angle DAB = 30^\circ:

AB = BD\cdot\frac{\sin 105^\circ}{\sin 30^\circ} = 8\cdot\frac{\sin 105^\circ}{1/2} = 16\sin 105^\circ = 4\sqrt2 + 4\sqrt6,

AD = BD\cdot\frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = 8\cdot\frac{\sqrt2/2}{1/2} = 8\sqrt2.

\boxed{BC = 4,\quad CD = 4\sqrt3,\quad AB = 4\sqrt2 + 4\sqrt6,\quad AD = 8\sqrt2}

CAS-kontroll (numerisk): AB \approx 15{,}45 og AD \approx 11{,}31.

Oppgave 3 (9 poeng)

Oppgave. f(x) = x^3 - 6x^2 + 3x + 18. a) Tegn grafen og bestem nullpunkter samt topp-/bunnpunkt med graftegner. b) Bestem eksakte verdier for det samme med CAS. Grafen har to tangenter med stigningstall 3. c) Bestem likningene for de to tangentene. d) Tegn tangentene i samme koordinatsystem.

a) Med graftegner ser man at f har tre nullpunkter, et toppunkt og et bunnpunkt:

• Nullpunkter: x \approx -1{,}37, x = 3, x \approx 4{,}37.
• Toppunkt: (0{,}27,\ 18{,}39).
• Bunnpunkt: (3{,}73,\ -2{,}39).

b) Nullpunkter (CAS): x = 3 er en rot (sjekk: 27 - 54 + 9 + 18 = 0). Polynomdivisjon med (x-3) gir x^2 - 3x - 6, med røtter

x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}.

\boxed{x = \frac{3 - \sqrt{33}}{2},\quad x = 3,\quad x = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}}

Topp-/bunnpunkt: f'(x) = 3x^2 - 12x + 3 = 3(x^2 - 4x + 1). Sett lik null:

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt3.

Toppunkt i x = 2 - \sqrt3 med f(2-\sqrt3) = 8 + 6\sqrt3, og bunnpunkt i x = 2 + \sqrt3 med f(2+\sqrt3) = 8 - 6\sqrt3.

\boxed{\text{Toppunkt } \left(2-\sqrt3,\ 8+6\sqrt3\right),\quad \text{Bunnpunkt } \left(2+\sqrt3,\ 8-6\sqrt3\right)}

c) Tangenter med stigningstall 3 finnes der f'(x) = 3:

3x^2 - 12x + 3 = 3 \;\Longrightarrow\; 3x^2 - 12x = 0 \;\Longrightarrow\; 3x(x-4) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \;\text{eller}\; x = 4.

• For x = 0: f(0) = 18. Tangent: y = 3(x-0) + 18 = 3x + 18.
• For x = 4: f(4) = 64 - 96 + 12 + 18 = -2. Tangent: y = 3(x-4) - 2 = 3x - 14.

\boxed{y = 3x + 18 \qquad \text{og} \qquad y = 3x - 14}

d) Tegn de to rette linjene y = 3x + 18 og y = 3x - 14 i samme koordinatsystem som f. De er parallelle (begge stigningstall 3) og tangerer grafen i henholdsvis (0, 18) og (4, -2).

Oppgave 4 (2 poeng)

Oppgave. Liten kuleis: 24 kr, 2 iskremkuler. Stor kuleis: 32 kr, 3 iskremkuler. 1 L iskrem = 12 kuler. En dag solgte Ida for 2752 kr og brukte 20 L iskrem. Hvor mange store kuleis solgte hun?

Løsning. La s = antall små og t = antall store kuleis. Inntekt og iskremforbruk (20 L = 240 kuler) gir likningssystemet

\begin{aligned} 24s + 32t &= 2752 \quad &&(\text{kroner})\\ 2s + 3t &= 240 \quad &&(\text{iskremkuler}) \end{aligned}

Fra den nederste: s = \dfrac{240 - 3t}{2} = 120 - 1{,}5t. Sett inn i den øverste:

24(120 - 1{,}5t) + 32t = 2752 \;\Longrightarrow\; 2880 - 36t + 32t = 2752 \;\Longrightarrow\; -4t = -128 \;\Longrightarrow\; t = 32.

(Da blir s = 120 - 1{,}5\cdot 32 = 72.)

\boxed{\text{Ida solgte } 32 \text{ store kuleis (og 72 små).}}

Oppgave 5 (3 poeng)

Oppgave. En sirkel har diameter AD = a. Punktene B og C deler AD i tre like store deler. Alle buene i figuren er sirkelbuer, og figuren danner et «tao»-mønster (en svart komma-formet del). Bestem forholdet mellom arealet av hele sirkelen og arealet av det svarte området.

Løsning. Sett A = 0, B = \tfrac{a}{3}, C = \tfrac{2a}{3}, D = a langs diameteren.

Den store sirkelen har diameter a, altså radius \tfrac{a}{2}, og areal

A_{\text{sirkel}} = \pi\left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}.

Den svarte komma-figuren bygges av halvsirkler. Den ytre buen følger en halvsirkel med diameter AC = \tfrac{2a}{3} (radius \tfrac{a}{3}), mens den indre buen følger en halvsirkel med diameter AB = \tfrac{a}{3} (radius \tfrac{a}{6}). Det svarte arealet er differansen mellom disse to (de to halvsirklene på hver side av diameteren paret sammen):

A_{\text{svart}} = \pi\left(\frac{a}{3}\right)^2 - \pi\left(\frac{a}{6}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{9} - \frac{\pi a^2}{36} = \frac{4\pi a^2 - \pi a^2}{36} = \frac{3\pi a^2}{36} = \frac{\pi a^2}{12}.

Forholdet mellom hele sirkelen og det svarte området blir

\frac{A_{\text{sirkel}}}{A_{\text{svart}}} = \frac{\pi a^2/4}{\pi a^2/12} = \frac{12}{4} = 3.

\boxed{\text{Forholdet er } 3:1 \text{ — sirkelen er tre ganger så stor som det svarte området.}}

Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Kilde og fasit: matematikk.net. Ikke tilknyttet Utdanningsdirektoratet.