Matematikk 1T — Vår 2016

Løsningsforslag (Del 1 og Del 2) · MAT1013 · Vår 2016 · K06 · ✓ Sammenholdt m/ matematikk.net · Uoffisielt

Om dette løsningsforslaget. Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Oppgaveteksten er ikke gjengitt i sin helhet; hver oppgave vises med nummer og et kort sammendrag. Kilde: oppgaven og matematikk.net sitt løsningsforslag. Sluttsvar er sammenholdt med matematikk.net sin versjon — se den ved tvil.

DEL 1 — Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng)

Oppgave. Regn ut \dfrac{1{,}8\cdot 10^{12}}{0{,}0005} og skriv svaret på standardform.

Løsning. Vi deler tallene og potensene hver for seg. Siden 0{,}0005 = 5\cdot 10^{-4}:

\frac{1{,}8\cdot 10^{12}}{5\cdot 10^{-4}} = \frac{1{,}8}{5}\cdot 10^{12-(-4)} = 0{,}36\cdot 10^{16}.

På standardform (ett siffer foran komma) flytter vi kommaet ett hakk:

\boxed{\,3{,}6\cdot 10^{15}\,}

Oppgave 2 (3 poeng)

Oppgave. På en tallinje er 12 punkter A–L markert (A ved -4, B ved -3, C ved -2, D,E,F tett rundt 0, G ved 1, H ved 2, I,J mellom 2 og 3, K ved 3, L ved 4). Regn ut hvert av de seks tallene og plasser dem.

Løsning. Vi regner ut hvert uttrykk og plasserer det på det nærmeste punktet.

1. 4^{-1} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 — like til høyre for 0 \;\Rightarrow\; \boxed{F}
2. 4\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^0 = 4\cdot 1 = 4 \;\Rightarrow\; \boxed{L}
3. \lg 0{,}001 = \lg 10^{-3} = -3 \;\Rightarrow\; \boxed{B}
4. 5^{\frac12} = \sqrt5 \approx 2{,}24 — mellom 2 og 3 \;\Rightarrow\; \boxed{I}
5. \tan 45^\circ = 1 \;\Rightarrow\; \boxed{G}
6. \sqrt[3]{27} = 3 \;\Rightarrow\; \boxed{K}

Oppgave 3 (2 poeng)

Oppgave. Løs likningssystemet x^2 + y^2 = 2x + 3 og -x + y = 1.

Løsning. Fra den andre likningen er y = x + 1. Sett inn i den første:

x^2 + (x+1)^2 = 2x + 3.

Vi utvider og forenkler:

x^2 + x^2 + 2x + 1 = 2x + 3 \;\Longrightarrow\; 2x^2 = 2 \;\Longrightarrow\; x^2 = 1,

så x = -1 eller x = 1. Tilhørende y-verdier fra y = x + 1:

• x = -1 \;\Rightarrow\; y = 0
• x = 1 \;\Rightarrow\; y = 2

\boxed{(-1,\,0) \quad \text{og} \quad (1,\,2)}

Oppgave 4 (2 poeng)

Oppgave. Løs ulikheten 2x^2 + 3x > 2.

Løsning. Vi flytter alt over på én side: 2x^2 + 3x - 2 > 0. Nullpunktene til venstresiden:

x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4} \;\Longrightarrow\; x = -2 \;\text{eller}\; x = \tfrac12.

Parabelen 2x^2 + 3x - 2 åpner oppover, så uttrykket er positivt utenfor nullpunktene:

\boxed{\,x < -2 \quad \text{eller} \quad x > \tfrac12\,}

Oppgave 5 (3 poeng)

Oppgave. Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig. a) (\sqrt6 - \sqrt3)(\sqrt6 + \sqrt3). b) \sqrt{45} + \sqrt{20} - \sqrt{10}\cdot\sqrt8.

a) Dette er konjugatsetningen (a-b)(a+b) = a^2 - b^2:

(\sqrt6)^2 - (\sqrt3)^2 = 6 - 3 = \boxed{3}.

b) Vi forenkler hvert rotuttrykk. \sqrt{45} = \sqrt{9\cdot 5} = 3\sqrt5, \sqrt{20} = \sqrt{4\cdot 5} = 2\sqrt5, og \sqrt{10}\cdot\sqrt8 = \sqrt{80} = \sqrt{16\cdot 5} = 4\sqrt5. Dermed

3\sqrt5 + 2\sqrt5 - 4\sqrt5 = (3 + 2 - 4)\sqrt5 = \boxed{\sqrt5}.

Oppgave 6 (2 poeng)

Oppgave. Skriv så enkelt som mulig: \dfrac{x^2 + 10x + 25}{2x^2 - 50}.

Løsning. Vi faktoriserer teller og nevner. Telleren er et fullstendig kvadrat: x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2. Nevneren: 2x^2 - 50 = 2(x^2 - 25) = 2(x-5)(x+5). Dermed

\frac{(x+5)^2}{2(x-5)(x+5)} = \frac{x+5}{2(x-5)}, \qquad x \neq \pm 5.

\boxed{\,\dfrac{x+5}{2(x-5)}\,}

Oppgave 7 (2 poeng)

Oppgave. Løs likningen 2\lg x + 8 = 2 - \lg x.

Løsning. Vi samler logaritmeleddene på én side:

2\lg x + \lg x = 2 - 8 \;\Longrightarrow\; 3\lg x = -6 \;\Longrightarrow\; \lg x = -2.

\lg x = -2 betyr x = 10^{-2}. Verdien er positiv, så den er gyldig:

\boxed{\,x = 0{,}01\,}

Oppgave 8 (2 poeng)

Oppgave. Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig: \dfrac{x}{4x+8} + \dfrac{1}{12} - \dfrac{4x+5}{6x+12}.

Løsning. Vi faktoriserer nevnerne: 4x + 8 = 4(x+2) og 6x + 12 = 6(x+2). Felles nevner blir 12(x+2). Vi gjør om hvert ledd:

\frac{x}{4(x+2)} = \frac{3x}{12(x+2)}, \qquad \frac{1}{12} = \frac{x+2}{12(x+2)}, \qquad \frac{4x+5}{6(x+2)} = \frac{2(4x+5)}{12(x+2)}.

Samlet:

\frac{3x + (x+2) - 2(4x+5)}{12(x+2)} = \frac{3x + x + 2 - 8x - 10}{12(x+2)} = \frac{-4x - 8}{12(x+2)}.

Telleren er -4(x+2), så

\frac{-4(x+2)}{12(x+2)} = -\frac{4}{12} = \boxed{-\dfrac{1}{3}}, \qquad x \neq -2.

Oppgave 9 (4 poeng)

Oppgave. Snorre har 6 blå og 4 rosa ballonger og tar tilfeldig 3. a) Sannsynligheten for tre blå. b) Sannsynligheten for minst én rosa. c) Sannsynligheten for én rosa og to blå.

Løsning. Det er \binom{10}{3} = 120 måter å trekke 3 av 10 ballonger på.

a) Antall måter å velge 3 blå av 6: \binom{6}{3} = 20. Dermed

P(\text{tre blå}) = \frac{20}{120} = \boxed{\tfrac{1}{6}}.

b) «Minst én rosa» er komplementet til «ingen rosa» (= tre blå):

P(\text{minst én rosa}) = 1 - P(\text{tre blå}) = 1 - \tfrac{1}{6} = \boxed{\tfrac{5}{6}}.

c) Velg 1 rosa av 4 og 2 blå av 6: \binom{4}{1}\binom{6}{2} = 4\cdot 15 = 60. Dermed

P(\text{1 rosa og 2 blå}) = \frac{60}{120} = \boxed{\tfrac{1}{2}}.

Oppgave 10 (3 poeng)

Oppgave. Tre parabler A (rød, venstre), B (blå, midten) og C (grønn, høyre) er tegnet. Funksjonene er f(x) = x^2 - 2x + 9, g(x) = x^2 - 10x + 9 og h(x) = x^2 + 6x + 9. Avgjør hvilken graf som hører til hvilken funksjon, og begrunn.

Løsning. Alle tre har samme konstantledd 9, altså samme skjæring med y-aksen, (0,9) — det stemmer med at alle grafene går gjennom det samme punktet på y-aksen. Vi bruker toppunktene (her bunnpunktene, siden alle åpner oppover).

Bunnpunktet ligger i x = -\dfrac{b}{2a}:

• f: x = \dfrac{2}{2} = 1, f(1) = 8 — bunnpunkt (1, 8), over x-aksen, like til høyre for y-aksen.
• g: x = \dfrac{10}{2} = 5, g(5) = -16 — bunnpunkt (5, -16), langt til høyre og godt under x-aksen (nullpunkter x=1 og x=9).
• h: x = \dfrac{-6}{2} = -3, h(-3) = 0 — bunnpunkt (-3, 0), til venstre og tangerer x-aksen (x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2).

Sammenholdt med figuren:

\boxed{A = h \;(\text{venstre, tangerer aksen}),\quad B = f \;(\text{midten, over aksen}),\quad C = g \;(\text{høyre, dypt under aksen})}

Oppgave 11 (2 poeng)

Oppgave. f(x) = x^3 - 5x^2 + 3x + 4. a) Bestem den momentane vekstfarten i x = 2. b) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [1, 3].

a) Momentan vekstfart er den deriverte. f'(x) = 3x^2 - 10x + 3, så

f'(2) = 3\cdot 4 - 10\cdot 2 + 3 = 12 - 20 + 3 = \boxed{-5}.

b) Gjennomsnittlig vekstfart er stigningstallet til sekanten. f(1) = 1 - 5 + 3 + 4 = 3 og f(3) = 27 - 45 + 9 + 4 = -5:

\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{-5 - 3}{2} = \boxed{-4}.

Oppgave 12 (4 poeng)

Oppgave. En rettvinklet trekant ABC (rett vinkel i A) med AB = 8 og BC = 10 er omgitt av tre likesidede trekanter (én på hver side: grå på BC, blå på AB, grønn på AC). a) Vis at den grå trekanten har areal 25\sqrt3. b) Vis at den grønne og den blå til sammen har samme areal som den grå.

Løsning. Først finner vi den siste kateten med Pytagoras. BC = 10 er hypotenusen:

AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6.

Arealet av en likesidet trekant med side s er \dfrac{\sqrt3}{4}\,s^2.

a) Den grå trekanten står på BC = 10:

A_\text{grå} = \frac{\sqrt3}{4}\cdot 10^2 = \frac{100\sqrt3}{4} = \boxed{25\sqrt3}.

b) Den blå trekanten står på AB = 8, den grønne på AC = 6:

A_\text{blå} = \frac{\sqrt3}{4}\cdot 8^2 = 16\sqrt3, \qquad A_\text{grønn} = \frac{\sqrt3}{4}\cdot 6^2 = 9\sqrt3.

Til sammen:

A_\text{blå} + A_\text{grønn} = 16\sqrt3 + 9\sqrt3 = 25\sqrt3 = A_\text{grå}.

Dette er et fint eksempel på Pytagoras’ setning: A_\text{grønn} + A_\text{blå} = \dfrac{\sqrt3}{4}(AC^2 + AB^2) = \dfrac{\sqrt3}{4}\,BC^2 = A_\text{grå}. \blacksquare

Oppgave 13 (2 poeng)

Oppgave. I et koordinatsystem er en kvart enhetssirkel (r = 1) tegnet sammen med en vinkel på 53^\circ fra positiv x-akse. Bruk koordinatsystemet til å bestemme tilnærmede verdier for \sin 53^\circ, \cos 53^\circ og \tan 53^\circ.

Løsning. På enhetssirkelen har skjæringspunktet mellom vinkelbeinet og sirkelen koordinatene (\cos 53^\circ,\ \sin 53^\circ). Vi leser av figuren at punktet ligger ved omtrent x \approx 0{,}6 og y \approx 0{,}8:

\cos 53^\circ \approx \boxed{0{,}6}, \qquad \sin 53^\circ \approx \boxed{0{,}8}.

\tan 53^\circ = \frac{\sin 53^\circ}{\cos 53^\circ} \approx \frac{0{,}8}{0{,}6} = \frac{4}{3} \approx \boxed{1{,}3}.

(Til sammenligning er de eksakte verdiene \cos 53^\circ \approx 0{,}602, \sin 53^\circ \approx 0{,}799 og \tan 53^\circ \approx 1{,}33.)

Oppgave 14 (4 poeng)

Oppgave. Grafen til den deriverte f' er gitt (en parabel med nullpunkter i x = 0 og x = 4 og bunnpunkt (2, -2)). a) For hvilke x har f toppunkt og bunnpunkt? b) Punktet (2, -3) ligger på grafen til f. Bestem likningen for tangenten til f i dette punktet.

a) f har topp-/bunnpunkt der f'(x) = 0, altså i x = 0 og x = 4. Vi ser på fortegnet til f':

• For x < 0 er f' > 0, for 0 < x < 4 er f' < 0: f' skifter fra + til − i x = 0, så f har toppunkt i x = 0.
• For x > 4 er f' > 0: f' skifter fra − til + i x = 4, så f har bunnpunkt i x = 4.

\boxed{\text{Toppunkt for } x = 0, \quad \text{bunnpunkt for } x = 4}

b) Tangentens stigningstall er f'(2). Fra grafen er bunnpunktet (2, -2), altså f'(2) = -2. Tangenten går gjennom (2, -3):

y - (-3) = -2(x - 2) \;\Longrightarrow\; y = -2x + 4 - 3 = -2x + 1.

\boxed{\,y = -2x + 1\,}

DEL 2 — Med hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng)

Oppgave. Antall registrerte elbiler i Norge x år etter 2010 er tilnærmet g(x) = 560x^3 - 1767x^2 + 2501x + 2577, x \in [0, 8]. a) Tegn grafen til g. b) Bestem g(4) og g'(4), og forklar hva verdiene forteller.

a) Grafen tegnes med graftegner (GeoGebra) for x \in [0, 8]. g er en tredjegradsfunksjon som er voksende på hele intervallet: den starter i g(0) = 2577 og stiger stadig brattere mot g(8) = 196\,217. Kurven er først svakt voksende og krummer oppover (eksplosiv vekst) mot slutten av intervallet.

b) Vi regner ut funksjonsverdien og den deriverte. g'(x) = 1680x^2 - 3534x + 2501.

g(4) = 560\cdot 64 - 1767\cdot 16 + 2501\cdot 4 + 2577 = 35840 - 28272 + 10004 + 2577 = 20149.

g'(4) = 1680\cdot 16 - 3534\cdot 4 + 2501 = 26880 - 14136 + 2501 = 15245.

\boxed{g(4) = 20149, \qquad g'(4) = 15245}

Tolkning. I 2014 (4 år etter 2010) var det ifølge modellen om lag 20\,149 registrerte elbiler. g'(4) = 15245 betyr at antallet elbiler i 2014 vokste med omtrent 15\,245 biler per år.

Oppgave 2 (3 poeng)

Oppgave. En tabell viser prosentandel dagligrøykere (16–74 år) i 2002, 2004, 2006, 2009 og 2012: 29, 26, 24, 20, 16. La x være antall år etter 2002. a) Bestem en lineær funksjon for utviklingen 2002–2012. b) Vurder om funksjonen kan brukes til å beskrive utviklingen fram mot 2025.

a) Med hjelpemiddel utfører vi lineær regresjon på dataparene (0, 29), (2, 26), (4, 24), (7, 20), (10, 16) (året 2012 svarer til x = 2012 - 2002 = 10). Regresjonen gir

\boxed{f(x) = -1{,}3x + 28{,}9}

Modellen sier at andelen dagligrøykere synker med omtrent 1{,}3 prosentpoeng per år.

b) År 2025 svarer til x = 23:

f(23) = -1{,}3\cdot 23 + 28{,}9 = -29{,}9 + 28{,}9 = -1{,}0.

En negativ prosentandel er umulig. Modellen forutsetter at like mange prosentpoeng forsvinner hvert år, men i virkeligheten flater nedgangen ut når andelen nærmer seg null. Den lineære modellen kan derfor ikke brukes til å beskrive utviklingen helt fram mot 2025.

Oppgave 3 (4 poeng)

Oppgave. I en 1T-gruppe er det 26 elever: 20 har valgt R1, 16 har valgt Fysikk 1, og 6 har verken R1 eller Fysikk 1. a) Sett opp opplysningene i krysstabell/venndiagram. b) Sannsynligheten for at en tilfeldig elev har valgt R1, men ikke Fysikk 1. c) Eleven som er trukket ut har valgt Fysikk 1 — sannsynligheten for at eleven også har valgt R1.

a) Antall som har valgt minst ett av fagene er 26 - 6 = 20. Med inklusjon–eksklusjon:

|R1 \cap F1| = |R1| + |F1| - |R1 \cup F1| = 20 + 16 - 20 = 16.

Det betyr at alle de 16 Fysikk-elevene også har valgt R1. Krysstabell:

b) «R1, men ikke Fysikk 1» gjelder 4 elever:

P(R1 \cap \overline{F1}) = \frac{4}{26} = \boxed{\tfrac{2}{13}}.

c) Betinget sannsynlighet, gitt at eleven har Fysikk 1 (16 elever), hvorav alle 16 også har R1:

P(R1 \mid F1) = \frac{|R1 \cap F1|}{|F1|} = \frac{16}{16} = \boxed{1}.

Alle som har valgt Fysikk 1, har altså også valgt R1.

Oppgave 4 (3 poeng)

Oppgave. I en rettvinklet trekant ABC er \angle A = 53^\circ og AB = 10. a) Forklar at det finnes to trekanter som oppfyller betingelsene. b) Bestem BC for hver av de to.

a) Oppgaven sier at trekanten er rettvinklet, men ikke hvilken vinkel som er den rette. Den rette vinkelen kan ligge i B eller i C (den kan ikke ligge i A, for \angle A = 53^\circ). Dette gir to ulike trekanter.

b)

Tilfelle 1 — rett vinkel i B. Da er AB hosliggende katet og BC motstående katet til \angle A:

\tan 53^\circ = \frac{BC}{AB} \;\Longrightarrow\; BC = 10\cdot\tan 53^\circ \approx \boxed{13{,}3}.

Tilfelle 2 — rett vinkel i C. Da er AB hypotenus og BC motstående katet til \angle A:

\sin 53^\circ = \frac{BC}{AB} \;\Longrightarrow\; BC = 10\cdot\sin 53^\circ \approx \boxed{8{,}0}.

Oppgave 5 (3 poeng)

Oppgave. f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d har bunnpunkt (3, -5) og et nullpunkt for x = 4. Bruk CAS til å bestemme b, c og d.

Løsning. Vi setter opp tre likninger og løser med CAS. f'(x) = 3x^2 + 2bx + c.

• Bunnpunkt i x = 3: f'(3) = 0 \;\Rightarrow\; 27 + 6b + c = 0.
• Funksjonsverdi i bunnpunktet: f(3) = -5 \;\Rightarrow\; 27 + 9b + 3c + d = -5.
• Nullpunkt i x = 4: f(4) = 0 \;\Rightarrow\; 64 + 16b + 4c + d = 0.

CAS (løs systemet) gir

\boxed{b = -5, \qquad c = 3, \qquad d = 4}

altså f(x) = x^3 - 5x^2 + 3x + 4. Kontroll: f''(3) = 6\cdot 3 + 2\cdot(-5) = 8 > 0, så (3,-5) er virkelig et bunnpunkt.

Oppgave 6 (3 poeng)

Oppgave. En figur er satt sammen av to kvadrater med sider x og y (de møtes i ett hjørne). Omkretsen av hele figuren er 16. Bestem x og y slik at det samlede arealet blir minst mulig.

Løsning. Kvadratene berører hverandre kun i ett hjørne, så ingen sider faller sammen. Omkretsen av hele figuren er da summen av alle sidene:

4x + 4y = 16 \;\Longrightarrow\; x + y = 4 \;\Longrightarrow\; x = 4 - y.

Det samlede arealet er

A = x^2 + y^2 = (4 - y)^2 + y^2 = 16 - 8y + y^2 + y^2 = 2y^2 - 8y + 16.

Vi deriverer og setter lik null:

A'(y) = 4y - 8 = 0 \;\Longrightarrow\; y = 2.

Siden A''(y) = 4 > 0 er dette et minimum. Da er x = 4 - 2 = 2, og minste areal er A = 2^2 + 2^2 = 8.

\boxed{x = y = 2, \qquad \text{minste areal} = 8}

Oppgave 7 (4 poeng)

Oppgave. Gitt firkanten ABCD med \angle DAB = 45^\circ og \angle BDC = 45^\circ. Diagonalen BD = 5\sqrt2, og AB = 2\sqrt5, CD = 3. Bruk CAS til å bestemme arealet av firkanten eksakt.

Løsning. Diagonalen BD deler firkanten i to trekanter, ABD og BCD. Vi finner arealet av hver.

Trekant ABD. Vi kjenner AB = 2\sqrt5, BD = 5\sqrt2 og \angle A = 45^\circ. Først finner vi AD med cosinussetningen (\angle A ligger mellom AB og AD):

BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos 45^\circ.

Med BD^2 = 50, AB^2 = 20 og \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}:

50 = 20 + AD^2 - 2\cdot 2\sqrt5\cdot AD\cdot \tfrac{\sqrt2}{2} = 20 + AD^2 - 2\sqrt{10}\,AD.

CAS løser AD^2 - 2\sqrt{10}\,AD - 30 = 0 og gir den positive løsningen AD = 3\sqrt{10}. Arealet:

A_{ABD} = \tfrac12\cdot AB\cdot AD\cdot \sin 45^\circ = \tfrac12\cdot 2\sqrt5\cdot 3\sqrt{10}\cdot \tfrac{\sqrt2}{2} = \tfrac12\cdot 6\sqrt{50}\cdot \tfrac{\sqrt2}{2} = \tfrac12\cdot 30\sqrt2\cdot \tfrac{\sqrt2}{2} = 15.

Trekant BCD. Her er \angle BDC = 45^\circ den mellomliggende vinkelen mellom sidene BD = 5\sqrt2 og DC = 3:

A_{BCD} = \tfrac12\cdot BD\cdot DC\cdot \sin 45^\circ = \tfrac12\cdot 5\sqrt2\cdot 3\cdot \tfrac{\sqrt2}{2} = \tfrac12\cdot 15\cdot 2\cdot \tfrac12 = \tfrac{15}{2}.

Samlet areal:

A_{ABCD} = A_{ABD} + A_{BCD} = 15 + \frac{15}{2} = \boxed{\dfrac{45}{2} = 22{,}5}.

Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Kilde og fasit: matematikk.net. Ikke tilknyttet Utdanningsdirektoratet.