Matematikk 1T — Vår 2017

Løsningsforslag (Del 1 og Del 2) · MAT1013 · Vår 2017 · K06 · ✓ Sammenholdt m/ matematikk.net · Uoffisielt

Om dette løsningsforslaget. Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Oppgaveteksten er ikke gjengitt i sin helhet; hver oppgave vises med nummer og et kort sammendrag. Kilde: oppgaven og matematikk.net sitt løsningsforslag. Sluttsvar er sammenholdt med matematikk.net sin versjon — se den ved tvil.

DEL 1 — Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng)

Oppgave. Regn ut \dfrac{0{,}72\cdot 10^{8}}{60\cdot 10^{-8}} og skriv svaret på standardform.

Løsning. Vi deler tallene for seg og potensene for seg:

\frac{0{,}72\cdot 10^{8}}{60\cdot 10^{-8}} = \frac{0{,}72}{60}\cdot 10^{\,8-(-8)} = 0{,}012\cdot 10^{16}.

Skriver vi 0{,}012 = 1{,}2\cdot 10^{-2}, blir

0{,}012\cdot 10^{16} = 1{,}2\cdot 10^{-2}\cdot 10^{16} = \boxed{1{,}2\cdot 10^{14}}.

Oppgave 2 (1 poeng)

Oppgave. Regn ut 4^{0} + 2^{-3}\cdot (2^{3})^{2}.

Løsning. Bruk potensreglene 4^0 = 1, (2^3)^2 = 2^6 og 2^{-3}\cdot 2^{6} = 2^{3}:

4^{0} + 2^{-3}\cdot 2^{6} = 1 + 2^{3} = 1 + 8 = \boxed{9}.

Oppgave 3 (2 poeng)

Oppgave. Regn ut og skriv så enkelt som mulig: \sqrt{20} + \sqrt{5} - \dfrac{\sqrt{160}}{\sqrt{2}}.

Løsning. Vi forenkler hvert ledd. For det første er \sqrt{20} = \sqrt{4\cdot 5} = 2\sqrt5. For det siste leddet bruker vi \dfrac{\sqrt{160}}{\sqrt2} = \sqrt{\dfrac{160}{2}} = \sqrt{80} = \sqrt{16\cdot 5} = 4\sqrt5. Dermed

\sqrt{20} + \sqrt5 - \frac{\sqrt{160}}{\sqrt2} = 2\sqrt5 + \sqrt5 - 4\sqrt5 = (2 + 1 - 4)\sqrt5 = \boxed{-\sqrt5}.

Oppgave 4 (2 poeng)

Oppgave. Løs likningssystemet x^2 + y^2 = 4 og x + 2 = y.

Løsning. Sett inn y = x + 2 fra den andre likningen i den første:

x^2 + (x+2)^2 = 4 \;\Longrightarrow\; x^2 + x^2 + 4x + 4 = 4 \;\Longrightarrow\; 2x^2 + 4x = 0.

Faktoriser: 2x(x + 2) = 0, så x = 0 eller x = -2. Tilhørende y-verdier fra y = x + 2:

• x = 0 \;\Rightarrow\; y = 2
• x = -2 \;\Rightarrow\; y = 0

\boxed{(0,\,2)\quad\text{og}\quad(-2,\,0)}

Oppgave 5 (2 poeng)

Oppgave. Løs likningen \lg\!\left(x^2 + \tfrac34\right) = 0.

Løsning. \lg a = 0 betyr a = 10^0 = 1. Altså

x^2 + \frac34 = 1 \;\Longrightarrow\; x^2 = \frac14 \;\Longrightarrow\; x = \pm\frac12.

\boxed{x = -\tfrac12 \quad\text{eller}\quad x = \tfrac12}

Oppgave 6 (2 poeng)

Oppgave. Skriv så enkelt som mulig: \dfrac{1}{x} + \dfrac{x-5}{x-1} - \dfrac{2x-6}{x^2 - x}.

Løsning. Vi faktoriserer nevnerne: x^2 - x = x(x-1). Fellesnevner er x(x-1):

\frac{1}{x} + \frac{x-5}{x-1} - \frac{2x-6}{x(x-1)} = \frac{(x-1) + x(x-5) - (2x-6)}{x(x-1)}.

Vi regner ut telleren:

(x-1) + (x^2 - 5x) - (2x - 6) = x^2 + (1 - 5 - 2)x + (-1 + 6) = x^2 - 6x + 5.

Telleren faktoriseres: x^2 - 6x + 5 = (x-1)(x-5). Dermed

\frac{(x-1)(x-5)}{x(x-1)} = \frac{x-5}{x} = \boxed{\frac{x-5}{x}}.

Oppgave 7 (4 poeng)

Oppgave. Ved en skole leser 80\,\% aviser på nett, 50\,\% leser papiraviser og 2\,\% leser ikke aviser i det hele tatt. a) Systematiser i venndiagram/krysstabell. b) Sannsynlighet for at en tilfeldig elev leser både på nett og papir. c) Gitt at en elev leser på nett: sannsynligheten for at eleven ikke leser papiraviser.

a) og b) La N være «leser på nett» og P «leser papir». Da er P(N) = 0{,}80, P(P) = 0{,}50 og P(\text{ikke aviser}) = 0{,}02, slik at P(N \cup P) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98. Addisjonssetningen gir

P(N \cap P) = P(N) + P(P) - P(N \cup P) = 0{,}80 + 0{,}50 - 0{,}98 = \boxed{0{,}32}.

Krysstabell (andeler av alle elever):

c) Vi skal finne P(\text{ikke papir} \mid N). Av tabellen leser 0{,}48 av alle elever på nett uten papir, og 0{,}80 leser på nett:

P(\overline{P} \mid N) = \frac{P(N \cap \overline{P})}{P(N)} = \frac{0{,}48}{0{,}80} = \boxed{0{,}6}.

Oppgave 8 (2 poeng)

Oppgave. En rettvinklet trekant har korteste side 20, og differansen mellom de to andre sidene er 2. Hvor lang er den lengste siden?

Løsning. Den lengste siden i en rettvinklet trekant er hypotenusen. La den ene kateten være 20, den andre kateten a og hypotenusen a + 2 (differansen mellom de to lengste er 2). Pytagoras:

20^2 + a^2 = (a+2)^2 \;\Longrightarrow\; 400 + a^2 = a^2 + 4a + 4 \;\Longrightarrow\; 4a = 396 \;\Longrightarrow\; a = 99.

Hypotenusen er a + 2 = 99 + 2 = 101. (Sjekk: 20^2 + 99^2 = 400 + 9801 = 10201 = 101^2. ✓)

\boxed{\text{Den lengste siden er } 101}

Oppgave 9 (4 poeng)

Oppgave. f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x - 3. a) Gjennomsnittlig vekstfart i [-2,\,0]. b) Momentan vekstfart i x = -2.

a) Gjennomsnittlig vekstfart er \dfrac{f(0) - f(-2)}{0 - (-2)}. Vi regner

f(0) = -3, \qquad f(-2) = (-8) + 3\cdot 4 - 2\cdot(-2) - 3 = -8 + 12 + 4 - 3 = 5.

\frac{f(0) - f(-2)}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = \boxed{-4}.

b) Momentan vekstfart er den deriverte. f'(x) = 3x^2 + 6x - 2, så

f'(-2) = 3\cdot 4 + 6\cdot(-2) - 2 = 12 - 12 - 2 = \boxed{-2}.

Oppgave 10 (2 poeng)

Oppgave. Grafen til en tredjegradsfunksjon f er tegnet. Grafen har nullpunkter i x = 1 og x = 4 (toppunkt (1,0), bunnpunkt om lag (3,-4)). Bruk grafen til å løse a) f(x) > 0 og b) f'(x) > 0.

a) f(x) > 0 der grafen ligger over x-aksen. Grafen tangerer aksen i x = 1 (toppunkt på aksen, så f = 0 der) og krysser i x = 4. For x < 4 er grafen \le 0 (den berører bare aksen i x=1), og for x > 4 er den positiv. Altså

\boxed{f(x) > 0 \quad\text{for}\quad x > 4}.

b) f'(x) > 0 der grafen stiger. Grafen stiger fram til toppunktet i x = 1, synker mellom toppunktet og bunnpunktet i x = 3, og stiger igjen etter x = 3. Altså

\boxed{f'(x) > 0 \quad\text{for}\quad x < 1 \;\text{ eller }\; x > 3}.

Oppgave 11 (8 poeng)

Oppgave. f(x) = x^2 - 4x + 3. a) Nullpunkter. b) Tegn grafen og symmetrilinjen \ell. c) Likningen for tangenten med stigningstall 2. d) Tangenten i c) skjærer \ell i P; skisser den andre tangenten gjennom P og finn likningen grafisk. e) Vis ved regning at svaret i d) stemmer.

a) Nullpunktene løses med abc-formelen eller faktorisering: x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) = 0, så

\boxed{x = 1 \quad\text{og}\quad x = 3}.

b) Parabelen åpner oppover. Symmetrilinjen går gjennom bunnpunktet. Bunnpunktets x-verdi er midt mellom nullpunktene: x = \dfrac{1+3}{2} = 2, og f(2) = 4 - 8 + 3 = -1, så bunnpunktet er (2,-1). Symmetrilinjen er

\boxed{\ell:\; x = 2}.

Tegn parabelen med nullpunkter (1,0) og (3,0), bunnpunkt (2,-1) og skjæring med y-aksen i (0,3), sammen med den loddrette linjen x = 2.

c) Tangentens stigningstall er f'(x) = 2x - 4. Vi setter f'(x) = 2:

2x - 4 = 2 \;\Longrightarrow\; x = 3.

Tangeringspunktet er (3, f(3)) = (3, 0). Tangentlikningen y = f'(a)(x - a) + f(a) med a = 3:

y = 2(x - 3) + 0 = 2x - 6. \qquad \boxed{y = 2x - 6}

Tegn denne rette linjen i samme koordinatsystem.

d) Tangenten y = 2x - 6 skjærer \ell: x = 2 der y = 2\cdot 2 - 6 = -2, så P = (2, -2). Av symmetrien om x = 2 må den andre tangenten gjennom P være speilbildet av tangenten i c). Den tangerer i x = 1 (speilbildet av x = 3) og har stigningstall -2. Grafisk leser vi av likningen

\boxed{y = -2x + 2}.

e) Vi kontrollerer ved regning. En tangent i punktet x = a har likning y = (2a - 4)(x - a) + (a^2 - 4a + 3). Krav: den går gjennom P = (2, -2):

(2a - 4)(2 - a) + a^2 - 4a + 3 = -2.

Venstresiden forenkles til -2a^2 + 8a - 8 + a^2 - 4a + 3 = -a^2 + 4a - 5. Likningen blir

-a^2 + 4a - 5 = -2 \;\Longrightarrow\; a^2 - 4a + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; (a-1)(a-3) = 0,

så a = 1 eller a = 3. Verdien a = 3 er tangenten fra c). Den andre tangenten har a = 1: stigningstall f'(1) = 2\cdot 1 - 4 = -2 og punkt (1, f(1)) = (1, 0), altså y = -2(x - 1) = -2x + 2. Dette stemmer med svaret i d). ✓

\boxed{y = -2x + 2}

Oppgave 12 (5 poeng)

Oppgave. Figuren viser den rettvinklede trekanten PQR med hypotenus PR = 2, QR = 1, \angle P = 30^\circ og \angle R = 60^\circ. a) Bruk \triangle PQR til å vise at \sin 30^\circ = \tfrac12, \cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2} og \tan 30^\circ = \tfrac{\sqrt3}{3}. I \triangle ABC er AB = 2, AC = 4, \angle A = 30^\circ. b) Arealet av \triangle ABC. c) Vis at BC = 2\sqrt{5 - 2\sqrt3}.

a) I den rettvinklede trekanten PQR er \angle Q = 90^\circ, hypotenusen PR = 2 og kateten QR = 1 (motstående \angle P = 30^\circ). Den siste kateten finnes med Pytagoras: PQ = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt3. Da er

\sin 30^\circ = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}} = \frac{QR}{PR} = \frac{1}{2} = \boxed{\tfrac12},

\cos 30^\circ = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}} = \frac{PQ}{PR} = \frac{\sqrt3}{2} = \boxed{\tfrac{\sqrt3}{2}},

\tan 30^\circ = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}} = \frac{QR}{PQ} = \frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3} = \boxed{\tfrac{\sqrt3}{3}}.

b) Med to sider AB = 2, AC = 4 og mellomliggende vinkel \angle A = 30^\circ:

A = \frac12\,AB\cdot AC\cdot \sin A = \frac12\cdot 2\cdot 4\cdot \sin 30^\circ = \frac12\cdot 2\cdot 4\cdot \frac12 = \boxed{2}.

c) Cosinussetningen med \cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2}:

BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A = 2^2 + 4^2 - 2\cdot 2\cdot 4\cdot \frac{\sqrt3}{2} = 4 + 16 - 8\sqrt3 = 20 - 8\sqrt3.

Vi trekker ut faktoren 4 under rottegnet:

BC = \sqrt{20 - 8\sqrt3} = \sqrt{4(5 - 2\sqrt3)} = 2\sqrt{5 - 2\sqrt3}. \qquad \boxed{BC = 2\sqrt{5 - 2\sqrt3}}

DEL 2 — Med hjelpemidler

Oppgave 1 (7 poeng)

Oppgave. f(x) = -0{,}0047x^3 + 0{,}40x^2 - 8{,}3x + 86, x \in [0, 52], gir fyllingsgraden (i prosent) i et vannmagasin x uker etter 1. januar 2016. a) Tegn grafen. b) I hvor mange uker var fyllingsgraden over 60\,\%? c) I hvilken uke var den lavest, og hvor stor var den da? d) Tangenten i (22, f(22)) — likning og tolkning av stigningstallet.

a) Med graftegner (GeoGebra) tegner du f for 0 \le x \le 52. Grafen starter i f(0) = 86, synker til et bunnpunkt rundt uke 14 og stiger så igjen.

b) Vi løser f(x) = 60 med CAS/graftegner. Det gir skjæringspunktene x \approx 3{,}80 og x \approx 26{,}67 (en tredje løsning ligger utenfor [0,52]). Grafen starter høyt (f(0) = 86), synker under 60\,\% mellom skjæringspunktene (bunnpunktet er ca. 35\,\% rundt uke 14), og stiger igjen over 60\,\%. Fyllingsgraden er altså høyere enn 60\,\% utenfor intervallet, det vil si på [0;\,3{,}80\rangle \cup \langle 26{,}67;\,52]. Antall uker:

3{,}80 + (52 - 26{,}67) \approx 3{,}80 + 25{,}33 = 29{,}13 \;\Longrightarrow\; \boxed{\text{i om lag } 29 \text{ uker}}.

(Til kontroll: under 60\,\% er den i 26{,}67 - 3{,}80 \approx 23 uker, og 23 + 29 = 52. ✓)

c) Bunnpunktet finnes der f'(x) = 0. CAS gir x \approx 13{,}7 i intervallet, altså i løpet av uke 14. Fyllingsgraden der er

f(13{,}7) \approx 35{,}3. \qquad \boxed{\text{Lavest i uke 14, ca. } 35\,\% \text{ fylt}}.

(Endepunktene gir f(0) = 86 og f(52) \approx 75, begge høyere, så bunnpunktet er det globale minimum.)

d) Stigningstallet er f'(x) = -0{,}0141x^2 + 0{,}80x - 8{,}3. I x = 22:

f'(22) \approx 2{,}48, \qquad f(22) \approx 46{,}95.

Tangentlikningen y = f'(22)(x - 22) + f(22):

y \approx 2{,}48(x - 22) + 46{,}95 = 2{,}48x - 7{,}6. \qquad \boxed{y \approx 2{,}48x - 7{,}6}

Tolkning. Stigningstallet er positivt (\approx 2{,}5), så i uke 22 økte fyllingsgraden med om lag 2{,}5 prosentpoeng per uke.

Oppgave 2 (2 poeng)

Oppgave. To voksne og tre barn betaler til sammen 520 kr. En voksenbillett koster 40 kr mer enn en barnebillett. Hva koster hver billettype?

Løsning. La b være prisen på en barnebillett og v på en voksenbillett. Da er

\begin{aligned} 2v + 3b &= 520\\ v &= b + 40 \end{aligned}

Sett inn v = b + 40 i den første likningen:

2(b + 40) + 3b = 520 \;\Longrightarrow\; 5b + 80 = 520 \;\Longrightarrow\; 5b = 440 \;\Longrightarrow\; b = 88.

Da er v = 88 + 40 = 128.

\boxed{\text{Barnebillett } 88 \text{ kr}, \quad \text{voksenbillett } 128 \text{ kr}}

Oppgave 3 (2 poeng)

Oppgave. Et linjediagram viser andelen dagligrøykere (\%) i en bedrift fra 2000 til 2017. a) Bestem en lineær modell. b) Når er andelen 5\,\% ifølge modellen?

a) Vi leser av to punkter på diagrammet: i x = 0 (år 2000) er andelen ca. 30\,\%, og i x = 17 (år 2017) er den ca. 14\,\%. Stigningstallet blir

a = \frac{14 - 30}{17 - 0} = \frac{-16}{17} \approx -0{,}94.

Konstantleddet er startverdien 30. En lineær modell er

\boxed{y = -0{,}94x + 30},

der x er antall år etter 2000 og y er prosent dagligrøykere. (Bruker du regresjon på alle avlesningene, får du tilnærmet samme modell.)

b) Vi løser -0{,}94x + 30 = 5:

-0{,}94x = -25 \;\Longrightarrow\; x = \frac{25}{0{,}94} \approx 26{,}6.

Det svarer til om lag 26{,}6 år etter 2000, altså ut på høsten i 2026.

\boxed{\text{Andelen er } 5\,\% \text{ omkring høsten } 2026}

Oppgave 4 (4 poeng)

Oppgave. På et kjølelager er det 200 kartonger lettmelk og 100 kartonger helmelk. \tfrac25 av lettmelkkartongene og \tfrac14 av helmelkkartongene har ikke tett kork. a) Sannsynligheten for at en tilfeldig kartong ikke har tett kork. b) Gitt at en kartong ikke har tett kork: sannsynligheten for at det er lettmelk.

Løsning. Antall kartonger uten tett kork:

• Lettmelk: \dfrac25\cdot 200 = 80
• Helmelk: \dfrac14\cdot 100 = 25

Til sammen 80 + 25 = 105 av i alt 300 kartonger.

a)

P(\text{ikke tett}) = \frac{105}{300} = \frac{7}{20} = \boxed{0{,}35}.

b) Av de 105 utette kartongene er 80 lettmelk:

P(\text{lettmelk} \mid \text{ikke tett}) = \frac{80}{105} = \frac{16}{21} \approx \boxed{0{,}76}.

Oppgave 5 (2 poeng)

Oppgave. En trekant har sidene 5s og 3s^2 med mellomliggende vinkel 60^\circ, og den motstående siden er 7s. Bruk CAS til å bestemme s.

Løsning. Cosinussetningen på den siden (7s) som ligger motsatt 60^\circ-vinkelen mellom 5s og 3s^2:

(7s)^2 = (5s)^2 + (3s^2)^2 - 2\cdot 5s\cdot 3s^2\cdot \cos 60^\circ.

Med \cos 60^\circ = \tfrac12:

49s^2 = 25s^2 + 9s^4 - 30s^3\cdot \tfrac12 = 25s^2 + 9s^4 - 15s^3.

Dette ordnes til 9s^4 - 15s^3 - 24s^2 = 0, og siden s > 0 deler vi på 3s^2:

3s^2 - 5s - 8 = 0 \;\Longrightarrow\; (3s - 8)(s + 1) = 0.

Den positive løsningen er s = \dfrac{8}{3}.

\boxed{s = \tfrac{8}{3} \approx 2{,}67}

CAS-kommando (GeoGebra): Løs(9 s^4 - 15 s^3 - 24 s^2 = 0, s) gir s = -1 eller s = \tfrac83; bare s = \tfrac83 gir gyldige (positive) sidelengder.

Oppgave 6 (3 poeng)

Oppgave. f(x) = x^3 - 2ax^2 + a^2x, a > 0. Bruk CAS til å (i) vise at grafen har et nullpunkt og et stasjonært punkt i P(a, 0), og (ii) avgjøre om P er topp-, bunn- eller terrassepunkt.

Løsning.

Nullpunkt: Vi setter inn x = a:

f(a) = a^3 - 2a\cdot a^2 + a^2\cdot a = a^3 - 2a^3 + a^3 = 0,

så P(a, 0) ligger på grafen og er et nullpunkt.

Stasjonært punkt: Vi deriverer. f'(x) = 3x^2 - 4ax + a^2 = (x - a)(3x - a). I x = a:

f'(a) = (a - a)(3a - a) = 0,

så P er et stasjonært punkt. ✓

Type: Andrederiverttesten. f''(x) = 6x - 4a, og

f''(a) = 6a - 4a = 2a.

Siden a > 0 er f''(a) = 2a > 0, så P(a, 0) er et bunnpunkt.

\boxed{P(a,0) \text{ er nullpunkt, stasjonært, og et bunnpunkt}}

CAS (GeoGebra):

f(x):=x^3 - 2 a x^2 + a^2 x
f(a)            % gir 0  -> nullpunkt
Derivert(f)     % gir 3x^2 - 4 a x + a^2
Derivert(f)(a)  % gir 0  -> stasjonært
Derivert(f,2)(a)% gir 2a > 0 (a>0)  -> bunnpunkt

Oppgave 7 (4 poeng)

Oppgave. Figuren viser en kvartsirkel med sentrum A og radius 2R, en halvsirkel med sentrum B og radius R, og en halvsirkel med sentrum C og radius r. De to halvsirklene tangerer hverandre i D, som ligger på linjen gjennom B og C. a) Bruk Pytagoras til å vise at r = \tfrac23 R. b) Bruk CAS til å finne arealet av det blå området uttrykt ved R.

a) Vi legger A i origo med kvartsirkelen i første kvadrant, B = (R, 0) på den vannrette kanten og C = (0, c) på den loddrette kanten.

Halvsirkelen om C tangerer kvartsirkelen innenfra i punktet D på den felles radien fra A. Da er

AC = 2R - r \;\Longrightarrow\; c = 2R - r.

De to halvsirklene tangerer hverandre utvendig i D, så avstanden mellom sentrene er summen av radiene:

BC = R + r.

Pytagoras i den rettvinklede trekanten ABC (rett vinkel i A) gir BC^2 = AB^2 + AC^2, altså

(R + r)^2 = R^2 + (2R - r)^2.

Vi regner ut:

R^2 + 2Rr + r^2 = R^2 + 4R^2 - 4Rr + r^2 \;\Longrightarrow\; 2Rr = 4R^2 - 4Rr \;\Longrightarrow\; 6Rr = 4R^2.

Deler vi på 6R (som er \ne 0), får vi r = \dfrac{4R}{6} = \dfrac{2}{3}R. ✓

\boxed{r = \tfrac23 R}

b) Det blå området er kvartsirkelen (radius 2R) minus de to halvsirklene (radier R og r = \tfrac23 R):

A_{\text{blå}} = \underbrace{\frac14\pi(2R)^2}_{\text{kvartsirkel}} - \underbrace{\frac12\pi R^2}_{\text{halvsirkel } B} - \underbrace{\frac12\pi r^2}_{\text{halvsirkel } C}.

Vi setter inn r = \tfrac23 R:

A_{\text{blå}} = \frac14\pi\cdot 4R^2 - \frac12\pi R^2 - \frac12\pi\left(\frac23 R\right)^2 = \pi R^2 - \frac12\pi R^2 - \frac12\pi\cdot \frac{4}{9}R^2.

= \pi R^2 - \frac12\pi R^2 - \frac{2}{9}\pi R^2 = \left(1 - \frac12 - \frac29\right)\pi R^2 = \frac{18 - 9 - 4}{18}\pi R^2 = \frac{5}{18}\pi R^2.

\boxed{A_{\text{blå}} = \frac{5}{18}\pi R^2 \approx 0{,}87\,R^2}

CAS (GeoGebra):

r:=2/3 R
1/4 pi (2R)^2 - 1/2 pi R^2 - 1/2 pi r^2   % gir 5/18 pi R^2

Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Kilde og fasit: matematikk.net. Ikke tilknyttet Utdanningsdirektoratet.