Matematikk 1T — Vår 2018

Løsningsforslag (Del 1 og Del 2) · MAT1013 · Vår 2018 · K06 · ✓ Sammenholdt m/ matematikk.net · Uoffisielt

Om dette løsningsforslaget. Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Oppgaveteksten er ikke gjengitt i sin helhet; hver oppgave vises med nummer og et kort sammendrag. Kilde: oppgaven og matematikk.net sitt løsningsforslag. Sluttsvar er sammenholdt med matematikk.net sin versjon — se den ved tvil.

DEL 1 — Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng)

Oppgave. Løs likningssystemet 5x + 2y = 4 og 3x + 4y = -6.

Løsning. Vi bruker innsettings-/addisjonsmetoden. Multipliser den første likningen med 2:

10x + 4y = 8.

Trekk fra den andre likningen 3x + 4y = -6:

(10x + 4y) - (3x + 4y) = 8 - (-6) \;\Longrightarrow\; 7x = 14 \;\Longrightarrow\; x = 2.

Sett x = 2 inn i 5x + 2y = 4: \;10 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = -6 \Rightarrow y = -3.

\boxed{x = 2,\quad y = -3}

Oppgave 2 (1 poeng)

Oppgave. Løs likningen 3\cdot 10^{x} = 3000.

Løsning. Del på 3:

10^{x} = 1000 = 10^{3}.

Like grunntall gir like eksponenter:

\boxed{x = 3}

Oppgave 3 (2 poeng)

Oppgave. Regn ut og skriv svaret på standardform: \dfrac{\left(0{,}5\cdot 10^{6}\right)^{2}}{0{,}2\cdot 10^{-4} + 3\cdot 10^{-5}}.

Løsning. Tell teller og nevner hver for seg.

Teller: \left(0{,}5\cdot 10^{6}\right)^{2} = 0{,}25\cdot 10^{12} = 2{,}5\cdot 10^{11}.

Nevner: Gjør om til samme tierpotens. 0{,}2\cdot 10^{-4} = 2\cdot 10^{-5}, så

2\cdot 10^{-5} + 3\cdot 10^{-5} = 5\cdot 10^{-5}.

Brøken blir

\frac{2{,}5\cdot 10^{11}}{5\cdot 10^{-5}} = 0{,}5\cdot 10^{11-(-5)} = 0{,}5\cdot 10^{16} = \boxed{5\cdot 10^{15}}.

Oppgave 4 (1 poeng)

Oppgave. Vis at \sqrt{15}\cdot\sqrt{5} - \sqrt{48} = \sqrt{3}.

Løsning. Bruk at \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab} og trekk ut kvadrattall.

\sqrt{15}\cdot\sqrt{5} = \sqrt{75} = \sqrt{25\cdot 3} = 5\sqrt{3}, \sqrt{48} = \sqrt{16\cdot 3} = 4\sqrt{3}.

Dermed

\sqrt{15}\cdot\sqrt{5} - \sqrt{48} = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = \boxed{\sqrt{3}}. \qquad\blacksquare

Oppgave 5 (2 poeng)

Oppgave. Regn ut så enkelt som mulig: \lg 1000 \cdot \lg\sqrt[3]{10} \cdot \lg\sqrt[5]{10^{2}} \cdot \lg 0{,}00001.

Løsning. Skriv hver faktor som en tierpotens og bruk at \lg 10^{n} = n.

• \lg 1000 = \lg 10^{3} = 3
• \lg\sqrt[3]{10} = \lg 10^{1/3} = \dfrac{1}{3}
• \lg\sqrt[5]{10^{2}} = \lg 10^{2/5} = \dfrac{2}{5}
• \lg 0{,}00001 = \lg 10^{-5} = -5

Produktet blir

3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot (-5) = 1 \cdot \frac{2}{5}\cdot(-5) = \boxed{-2}.

Oppgave 6 (3 poeng)

Oppgave. a) Vis at x(x+2)(x-4) = x^{3} - 2x^{2} - 8x. b) Løs likningen x^{3} - 2x^{2} - 8x = 0.

a) Multipliser ut, to faktorer om gangen.

(x+2)(x-4) = x^{2} - 4x + 2x - 8 = x^{2} - 2x - 8.

Gang med x:

x\left(x^{2} - 2x - 8\right) = x^{3} - 2x^{2} - 8x. \qquad\blacksquare

b) Fra a) er likningen faktorisert som x(x+2)(x-4) = 0. Et produkt er null når en av faktorene er null:

x = 0, \quad x + 2 = 0, \quad x - 4 = 0.

\boxed{x \in \{-2,\; 0,\; 4\}}

Oppgave 7 (2 poeng)

Oppgave. Løs ulikheten x^{2} - 2x - 8 \ge 0.

Løsning. Finn nullpunktene til x^{2} - 2x - 8. Vi faktoriserer: x^{2} - 2x - 8 = (x+2)(x-4), så nullpunktene er x = -2 og x = 4.

Parabelen åpner oppover (positiv x^{2}-koeffisient), så uttrykket er \ge 0 utenfor nullpunktene:

\boxed{x \le -2 \;\text{ eller }\; x \ge 4}

Oppgave 8 (3 poeng)

Oppgave. f(x) = x^{2} + kx + 4. For hvilke k har grafen ingen / ett / to skjæringspunkter med x-aksen?

Løsning. Antall skjæringspunkter bestemmes av diskriminanten D = b^{2} - 4ac med a = 1, b = k, c = 4:

D = k^{2} - 4\cdot 1\cdot 4 = k^{2} - 16.

D = 0 for k = \pm 4. Da gjelder:

• Ingen skjæringspunkter (D < 0): \;k^{2} - 16 < 0 \;\Rightarrow\; \boxed{-4 < k < 4}
• Ett skjæringspunkt (D = 0): \;\boxed{k = -4 \;\text{eller}\; k = 4}
• To skjæringspunkter (D > 0): \;k^{2} - 16 > 0 \;\Rightarrow\; \boxed{k < -4 \;\text{eller}\; k > 4}

Oppgave 9 (3 poeng)

Oppgave. a) Vis at \dfrac{x + 2 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{3} - \frac{1}{3x}} = \dfrac{3x^{2} + 6x + 3}{x^{2} - 1}. b) Skriv \dfrac{x + 2 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{3} - \frac{1}{3x}} så enkelt som mulig.

a) Vi forenkler den sammensatte brøken ved å multiplisere teller og nevner med 3x (slik at alle småbrøker forsvinner).

Teller \cdot\, 3x:

3x\left(x + 2 + \frac{1}{x}\right) = 3x^{2} + 6x + 3.

Nevner \cdot\, 3x:

3x\left(\frac{x}{3} - \frac{1}{3x}\right) = x^{2} - 1.

Siden vi ganger teller og nevner med det samme (3x \ne 0), endres ikke verdien:

\frac{x + 2 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{3} - \frac{1}{3x}} = \frac{3x^{2} + 6x + 3}{x^{2} - 1}. \qquad\blacksquare

b) Faktoriser teller og nevner. Telleren: 3x^{2} + 6x + 3 = 3\left(x^{2} + 2x + 1\right) = 3(x+1)^{2}. Nevneren: x^{2} - 1 = (x+1)(x-1). Forkort felles faktor (x+1):

\frac{3(x+1)^{2}}{(x+1)(x-1)} = \frac{3(x+1)}{x-1} = \boxed{\dfrac{3x + 3}{x - 1}}.

Oppgave 10 (4 poeng)

Oppgave. f(x) = x^{3} + 2x^{2} + 1. a) Bestem gjennomsnittlig vekstfart i [-2, 2]. b) Bestem likningen for tangenten i punktet (1, f(1)).

a) Gjennomsnittlig vekstfart er

\frac{f(2) - f(-2)}{2 - (-2)}.

Med f(2) = 8 + 8 + 1 = 17 og f(-2) = -8 + 8 + 1 = 1:

\frac{17 - 1}{4} = \frac{16}{4} = \boxed{4}.

b) Deriver: f'(x) = 3x^{2} + 4x. Stigningstallet i x = 1 er f'(1) = 3 + 4 = 7, og f(1) = 1 + 2 + 1 = 4.

Tangentlikningen y = f'(1)(x - 1) + f(1):

y = 7(x - 1) + 4 = 7x - 7 + 4 = \boxed{7x - 3}.

Oppgave 11 (3 poeng)

Oppgave. Du kaster en rød og en blå terning. Avgjør hvilket som er mest sannsynlig: «like mange øyne» eller «sum av øyne er 5 eller mindre».

Løsning. Det er 6\cdot 6 = 36 like sannsynlige utfall.

Like mange øyne: de gunstige er (1,1), (2,2), \dots, (6,6), altså 6 utfall:

P(\text{like}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167.

Sum \le 5: tell parene (r, b) med r + b \le 5:

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)

— det er 10 utfall:

P(\text{sum} \le 5) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \approx 0{,}278.

Siden \frac{10}{36} > \frac{6}{36}, er

\boxed{\text{«Sum av øyne er 5 eller mindre» er mest sannsynlig.}}

Oppgave 12 (6 poeng)

Oppgave. Med utgangspunkt i 30-60-90-setningen (likesidet trekant med side s, høyde CD fra C): a) Vis at DC = \dfrac{s\sqrt{3}}{2}. b) Bruk \triangle ADC til å vise at \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. I \triangle PQR er PQ = 8, PR = 2\sqrt{3} og \angle P = 60^\circ: c) Bestem arealet av \triangle PQR. d) Vis at \tan Q = \dfrac{3}{8 - \sqrt{3}}.

a) Den likesidete trekanten har side s. Høyden CD halverer grunnlinjen AB, så AD = \dfrac{s}{2}. I den rettvinklete trekanten ADC er hypotenusen AC = s og den ene kateten AD = \dfrac{s}{2}. Pytagoras gir

DC^{2} = AC^{2} - AD^{2} = s^{2} - \left(\frac{s}{2}\right)^{2} = s^{2} - \frac{s^{2}}{4} = \frac{3s^{2}}{4}.

Dermed

DC = \sqrt{\frac{3s^{2}}{4}} = \frac{s\sqrt{3}}{2}. \qquad\blacksquare

b) I \triangle ADC er \angle A = 60^\circ. Sinus til 60^\circ er motstående katet (DC) delt på hypotenusen (AC = s):

\sin 60^\circ = \frac{DC}{AC} = \frac{\frac{s\sqrt{3}}{2}}{s} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \qquad\blacksquare

c) Arealet med to sider og mellomliggende vinkel \angle P = 60^\circ:

A = \frac{1}{2}\,PQ\cdot PR\cdot \sin P = \frac{1}{2}\cdot 8 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin 60^\circ = 8\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\cdot\frac{3}{2} = \boxed{12}.

d) La S være foten av høyden fra R ned på PQ (figuren). I den rettvinklete trekanten PSR med \angle P = 60^\circ og PR = 2\sqrt{3}:

RS = PR\cdot\sin 60^\circ = 2\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 3, PS = PR\cdot\cos 60^\circ = 2\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2} = \sqrt{3}.

Da er SQ = PQ - PS = 8 - \sqrt{3}. I den rettvinklete trekanten RSQ er

\tan Q = \frac{RS}{SQ} = \frac{3}{8 - \sqrt{3}}. \qquad\blacksquare

Oppgave 13 (4 poeng)

Oppgave. Fire andregradsfunksjoner p(x) = x^{2} - 2x, q(x) = x^{2} + 2x - 2, r(x) = 4 - x^{2} og s(x) = x^{2} - 2x - 2 skal pares med fire av seks grafer (A–F). Begrunn svarene.

Løsning. Vi finner kjennetegn som er lette å lese av i en graf: åpningsretning, skjæring med y-aksen og hvor toppunktet/bunnpunktet ligger.

Resonnement, fra det sikreste til det mest finmaskede:

• r er den eneste funksjonen som åpner nedover (negativ x^{2}-koeffisient) og har toppunkt (0,4) på y-aksen. Det er grafen som vender den hule siden ned: F.
• p er den eneste funksjonen med konstantledd 0, så p(0) = 0 — grafen går gjennom origo. Det er grafen som krysser akssystemet nøyaktig i (0,0): E.
• q og s er «speilbilder»: begge åpner opp, begge har y-skjæring -2 og bunnverdi -3. Det eneste som skiller dem er hvor bunnpunktet ligger: q har bunn i x = -1 (til venstre for y-aksen), mens s har bunn i x = 1 (til høyre). Grafen med bunnpunkt til venstre er q: C. Grafen med bunnpunkt til høyre er s: D.

\boxed{p \to \text{E}, \quad q \to \text{C}, \quad r \to \text{F}, \quad s \to \text{D}}

(De to resterende grafene A og B hører ikke til noen av de fire oppgitte funksjonene.)

DEL 2 — Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng)

Oppgave. Tabell over prisen på en kroneis (1, 4, 8, 14, 20, 25 kr) i årene 1970, 1980, \dots, 2017. a) Plott punktene (x = år etter 1970). Modell: f(x) = 0{,}0054x^{2} + 0{,}26x + 0{,}9, x \in [0,50]. b) Tegn grafen i samme system. c) Når var prisen 16 kr ifølge modellen? d) Hvor mye steg prisen i gjennomsnitt per år fra 1975 til 2015?

a) / b) Punktene legges inn med x-verdiene 0, 10, 20, 30, 40, 47 og tilhørende priser 1, 4, 8, 14, 20, 25. Grafen til f tegnes i samme koordinatsystem (f.eks. i GeoGebra). f er en oppoverbøyd parabeldel som følger punktene godt — den ligger nær alle målepunktene.

c) Vi løser f(x) = 16:

0{,}0054x^{2} + 0{,}26x + 0{,}9 = 16 \;\Longrightarrow\; 0{,}0054x^{2} + 0{,}26x - 15{,}1 = 0.

Abc-formelen gir to løsninger x \approx 34{,}0 og x \approx -82{,}2. Bare den positive er aktuell i [0,50], så x \approx 34.

År 1970 + 34 = 2004. Prisen var 16 kroner i

\boxed{\text{år } 2004 \;(x \approx 34)}.

d) «1975 til 2015» svarer til x = 5 og x = 45. Gjennomsnittlig vekst per år er den gjennomsnittlige vekstfarten:

\frac{f(45) - f(5)}{45 - 5}.

Vi regner f(45) = 0{,}0054\cdot 2025 + 0{,}26\cdot 45 + 0{,}9 = 10{,}935 + 11{,}7 + 0{,}9 = 23{,}535 og f(5) = 0{,}0054\cdot 25 + 0{,}26\cdot 5 + 0{,}9 = 0{,}135 + 1{,}3 + 0{,}9 = 2{,}335. Dermed

\frac{23{,}535 - 2{,}335}{40} = \frac{21{,}2}{40} = \boxed{0{,}53 \text{ kr per år}}.

Oppgave 2 (4 poeng)

Oppgave. 640 elever. \frac14 legger seg før kl. 23. Av dem som legger seg før 23 har \frac45 snitt over fire; av dem som legger seg etter 23 har \frac13 snitt over fire. a) Lag en krysstabell. b) P(\text{snitt over fire}). c) P(\text{før 23}\mid\text{snitt over fire}).

a) Antall som legger seg før 23: \frac14\cdot 640 = 160. Etter 23: 640 - 160 = 480.

• Før 23 med snitt over fire: \frac45\cdot 160 = 128; under fire: 160 - 128 = 32.
• Etter 23 med snitt over fire: \frac13\cdot 480 = 160; under fire: 480 - 160 = 320.

b) Antall med snitt over fire er 128 + 160 = 288:

P(\text{over fire}) = \frac{288}{640} = \frac{9}{20} = \boxed{0{,}45}.

c) Betinget sannsynlighet — av de 288 med snitt over fire er 128 slike som legger seg før 23:

P(\text{før 23}\mid\text{over fire}) = \frac{128}{288} = \frac{4}{9} \approx \boxed{0{,}44}.

Oppgave 3 (2 poeng)

Oppgave. En trekant har vinkler 45^\circ og 75^\circ, sidene s + 6 (mellom de to oppgitte vinklene sett fra figuren) og \sqrt{6}\cdot s. Bruk CAS til å bestemme s.

Løsning. Vinkelsummen gir den tredje vinkelen 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ.

Av figuren ligger siden \sqrt{6}\cdot s motstående 45^\circ-vinkelen, og siden s + 6 ligger motstående 60^\circ-vinkelen. Sinussetningen gir

\frac{s + 6}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{6}\cdot s}{\sin 45^\circ}.

Dette løses i CAS:

Løs( (s + 6) / sin(60°) = (sqrt(6)·s) / sin(45°), s )

CAS gir s = 3. (For hånd: \dfrac{s+6}{\sqrt3/2} = \dfrac{\sqrt6\,s}{\sqrt2/2}, altså \dfrac{s+6}{\sqrt3} = \dfrac{\sqrt6\,s}{\sqrt2} = \sqrt3\,s, som gir s + 6 = 3s, dvs. 2s = 6.)

\boxed{s = 3}

Oppgave 4 (6 poeng)

Oppgave. To rettvinklete trekanter \triangle ADC og \triangle DBC med felles høyde CD = h. AC = a, BC = b, AD = c_1, DB = c_2, \angle ACD = u, \angle BCD = v. a) Vis at h = a\cos u og h = b\cos v. b) Vis at arealet T = \frac{c_1 h}{2} + \frac{c_2 h}{2} kan skrives som T = \frac{a\sin u\cdot b\cos v}{2} + \frac{b\sin v\cdot a\cos u}{2}. c) Vis ved sammenligning med T = \frac12 ab\sin(u+v) at \sin(u+v) = \sin u\cos v + \sin v\cos u.

a) Se på den rettvinklete trekanten ADC, som er rettvinklet i D. Her er \angle ACD = u, hypotenusen er AC = a, og CD = h er den hosliggende kateten til vinkelen u. Da er

\cos u = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}} = \frac{h}{a} \;\Longrightarrow\; h = a\cos u.

Tilsvarende i den rettvinklete trekanten DBC (rettvinklet i D): \angle BCD = v, hypotenus BC = b, og CD = h er hosliggende katet til v:

\cos v = \frac{h}{b} \;\Longrightarrow\; h = b\cos v.

Maria har altså rett — høyden kan uttrykkes på begge måter. \qquad\blacksquare

b) Vi trenger også de to grunnlinjene. I \triangle ADC er AD = c_1 den motstående kateten til u, så

\sin u = \frac{c_1}{a} \;\Longrightarrow\; c_1 = a\sin u,

og i \triangle DBC er DB = c_2 motstående katet til v:

\sin v = \frac{c_2}{b} \;\Longrightarrow\; c_2 = b\sin v.

Sett dette inn i Marias arealuttrykk, og bruk fra a) at h = b\cos v i det første leddet og h = a\cos u i det andre:

T = \frac{c_1\,h}{2} + \frac{c_2\,h}{2} = \frac{(a\sin u)(b\cos v)}{2} + \frac{(b\sin v)(a\cos u)}{2} = \frac{a\sin u\cdot b\cos v}{2} + \frac{b\sin v\cdot a\cos u}{2}. \qquad\blacksquare

c) Mats’ arealsetning gir det samme arealet:

\frac12 ab\sin(u + v) = \frac{a\sin u\cdot b\cos v}{2} + \frac{b\sin v\cdot a\cos u}{2}.

Multipliser begge sider med \dfrac{2}{ab} (der a, b \ne 0). På høyresiden forkortes ab i begge ledd:

\sin(u + v) = \sin u\cos v + \sin v\cos u. \qquad\blacksquare

Oppgave 5 (6 poeng)

Oppgave. f(x) = x^{2} - 6x + 8. a) Vis at tangenten i (4, f(4)) er parallell med linjen gjennom (2, f(2)) og (6, f(6)). For g(x) = ax^{2} + bx + c (a \ne 0): b) Bruk CAS til å finne stigningstallet til tangenten i M\left(\frac{p+q}{2}, g\left(\frac{p+q}{2}\right)\right). c) Vis at linjen gjennom P(p, g(p)) og Q(q, g(q)) er parallell med tangenten i b).

a) Deriver: f'(x) = 2x - 6. Tangentens stigningstall i x = 4:

f'(4) = 2\cdot 4 - 6 = 2.

Stigningstallet til linjen (sekanten) gjennom (2, f(2)) og (6, f(6)) er

\frac{f(6) - f(2)}{6 - 2}.

Med f(6) = 36 - 36 + 8 = 8 og f(2) = 4 - 12 + 8 = 0:

\frac{8 - 0}{4} = 2.

Begge stigningstall er 2, altså er linjene parallelle. \qquad\blacksquare

b) I CAS deriverer vi g og setter inn x = \dfrac{p+q}{2}:

g(x) := a x^2 + b x + c
Derivér(g, x)            ->  2 a x + b
f'( (p+q)/2 )            ->  a (p + q) + b

Stigningstallet til tangenten i M er

g'\!\left(\frac{p+q}{2}\right) = 2a\cdot\frac{p+q}{2} + b = \boxed{a(p+q) + b}.

c) Stigningstallet til linjen gjennom P og Q:

\frac{g(q) - g(p)}{q - p} = \frac{\left(aq^{2} + bq + c\right) - \left(ap^{2} + bp + c\right)}{q - p} = \frac{a\left(q^{2} - p^{2}\right) + b(q - p)}{q - p}.

Bruk q^{2} - p^{2} = (q - p)(q + p) og forkort (q - p):

= a(q + p) + b = a(p + q) + b.

Dette er nøyaktig stigningstallet til tangenten i M fra b), så linjen PQ er parallell med tangenten. \qquad\blacksquare

Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Kilde og fasit: matematikk.net. Ikke tilknyttet Utdanningsdirektoratet.