Matematikk 1T — Vår 2021

Løsningsforslag (Del 1 og Del 2) · MAT1021 · Vår 2021 · LK20 · ✓ Sammenholdt m/ matematikk.net · Uoffisielt

Om dette løsningsforslaget. Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Oppgaveteksten er ikke gjengitt i sin helhet; hver oppgave vises med nummer og et kort sammendrag. Kilde: oppgaven og matematikk.net sitt løsningsforslag. Sluttsvar er sammenholdt med matematikk.net sin versjon — se den ved tvil.

Eksamen er delt i tre oppgavetyper. Oppgavetype 1 (oppgave 1–8) tilsvarer Del 1 — uten hjelpemidler. Oppgavetype 2 og 3 (oppgave 9–16) tilsvarer Del 2 — med hjelpemidler, der oppgavetype 3 er utforskende oppgaver.

DEL 1 — Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (Oppgavetype 1)

Oppgave. Funksjonen f(x) = ax + 8. Bestem a slik at grafen går gjennom punktet (4, 4).

Løsning. Punktet ligger på grafen, så f(4) = 4:

a\cdot 4 + 8 = 4 \;\Longrightarrow\; 4a = -4 \;\Longrightarrow\; a = -1.

\boxed{a = -1}

Oppgave 2 (Oppgavetype 1)

Oppgave. I trekant ABC er \angle B = 90^\circ, AC = 10 og \sin A = \tfrac{3}{5}. Bestem lengden av BC.

Løsning. Siden trekanten er rettvinklet i B, er AC hypotenusen, og BC er kateten motstående vinkel A. Da er

\sin A = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{BC}{AC}.

Vi løser for BC:

BC = AC\cdot \sin A = 10\cdot \frac{3}{5} = 6.

\boxed{BC = 6}

Oppgave 3 (Oppgavetype 1)

Oppgave. Bestem en verdi for k slik at divisjonen (x^3 + x^2 - 2x - 8) : (x + k) går opp.

Løsning. Divisjonen går opp dersom x = -k er et nullpunkt for x^3 + x^2 - 2x - 8 (faktorteoremet). Vi prøver heltallsdelere av konstantleddet -8. Med x = 2:

2^3 + 2^2 - 2\cdot 2 - 8 = 8 + 4 - 4 - 8 = 0,

så x = 2 er et nullpunkt, og (x - 2) er en faktor. Da må -k = 2, altså k = -2. (Den andre faktoren blir x^2 + 3x + 4, som ikke har reelle nullpunkter, så dette er den eneste heltallsverdien.)

\boxed{k = -2}

Oppgave 4 (Oppgavetype 1)

Oppgave. Bestem k slik at likningen x^2 + 2kx - 2k - 1 = 0 har én løsning.

Løsning. En andregradslikning har nøyaktig én løsning når diskriminanten er null:

D = (2k)^2 - 4\cdot 1\cdot(-2k - 1) = 4k^2 + 8k + 4 = 4(k+1)^2.

D = 0 \;\Longrightarrow\; (k+1)^2 = 0 \;\Longrightarrow\; k = -1.

\boxed{k = -1}

Oppgave 5 (Oppgavetype 1)

Oppgave. Ester kan leie bil hos firma A eller firma B (graf gitt). Firma A er fast pris uansett kjørelengde; firma B er en stigende rett linje. Hvor langt må hun kjøre på et døgn for at prisen blir lik?

Løsning. Fra diagrammet leser vi av:

• Firma A er en vannrett linje (fast pris): A(x) = 1200 kr.
• Firma B er en rett linje som starter i (0,\,500) og går gjennom (40,\,600). Stigningstallet er \dfrac{600 - 500}{40} = \dfrac{100}{40} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5, altså B(x) = \dfrac{10}{4}x + 500 = 2{,}5x + 500.

Prisene er like når A(x) = B(x):

1200 = 2{,}5x + 500 \;\Longrightarrow\; 2{,}5x = 700 \;\Longrightarrow\; x = \frac{700\cdot 4}{10} = 280.

\boxed{x = 280 \text{ km}}

(Linjene møtes utenfor det viste området på grafen, men avlesningen av startverdi 500 og stigning 2{,}5 kr/km gir skjæring ved 280 km.)

Oppgave 6 (Oppgavetype 1)

Oppgave. Gitt to brøker \dfrac{m}{n} og \dfrac{m+2}{n+2}, der m, n \in \mathbb{N} og n > m. Hvilken påstand er riktig? (Flervalg.)

Løsning. Vi sammenligner ved å trekke fra hverandre med felles nevner:

\frac{m+2}{n+2} - \frac{m}{n} = \frac{n(m+2) - m(n+2)}{n(n+2)} = \frac{nm + 2n - mn - 2m}{n(n+2)} = \frac{2(n - m)}{n(n+2)}.

Siden n > m er teller 2(n - m) > 0, og nevner n(n+2) > 0 (begge positive naturlige tall). Differansen er dermed positiv, så

\frac{m+2}{n+2} > \frac{m}{n} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{m}{n} < \frac{m+2}{n+2}.

Riktig påstand:

\boxed{\dfrac{m}{n} < \dfrac{m+2}{n+2}}

Forklaring: Når n > m er \tfrac{m}{n} en ekte brøk (mindre enn 1). Å legge til 2 i både teller og nevner flytter brøken nærmere 1, altså gjør den større.

Oppgave 7 (Oppgavetype 1)

Oppgave. Funksjonen f(x) = -5x^2 + ax + 1 har et toppunkt i (2,\,f(2)). Bestem a.

Løsning. I et toppunkt er den deriverte lik null. Vi deriverer:

f'(x) = -10x + a.

Krav f'(2) = 0:

-10\cdot 2 + a = 0 \;\Longrightarrow\; a = 20.

\boxed{a = 20}

Oppgave 8 (Oppgavetype 1)

Oppgave. Bestem r, s og t slik at 4x^2 + 16x + r = (sx + t)^2 blir en identitet.

Løsning. Vi utvider høyresiden:

(sx + t)^2 = s^2 x^2 + 2st\,x + t^2.

Sammenlign koeffisienter ledd for ledd:

• x^2-ledd: s^2 = 4 \;\Rightarrow\; s = 2 (velger positiv verdi).
• x-ledd: 2st = 16 \;\Rightarrow\; 2\cdot 2\cdot t = 16 \;\Rightarrow\; t = 4.
• konstantledd: r = t^2 = 4^2 = 16.

\boxed{r = 16,\quad s = 2,\quad t = 4}

(Også s = -2,\ t = -4,\ r = 16 er en gyldig løsning, siden (-2x-4)^2 = (2x+4)^2.)

DEL 2 — Med hjelpemidler

Oppgave 9 (Oppgavetype 2)

Oppgave. En skål med blåbærgelé avkjøles i et rom på 20\ ^\circ\text{C}. En tabell viser temperaturen T etter x minutter (8 målepunkter fra 4 til 90 min). a) Lag en modell T(x) = a\cdot b^x. b) Hvilket gyldighetsområde kan modellen ha?

a) Vi bruker eksponentiell regresjon (CAS/graftegner) på måledataene. Det gir omtrent

\boxed{T(x) \approx 92{,}5 \cdot 0{,}990^{\,x}}

Modellen passer godt med dataene — den treffer alle målepunktene innenfor noen få tideler:

b) Gyldighetsområde. Modellen T(x) = a\cdot b^x går mot 0 når x blir stor. Men en gelé i et rom på 20\ ^\circ\text{C} kan aldri bli kaldere enn romtemperaturen — den nærmer seg 20\ ^\circ\text{C}, ikke 0\ ^\circ\text{C}. Modellen gir derfor for lave verdier for store x.

Vi finner når modellen passerer 20\ ^\circ\text{C}:

92{,}5\cdot 0{,}990^x = 20 \;\Longrightarrow\; 0{,}990^x = \frac{20}{92{,}5} \;\Longrightarrow\; x = \frac{\ln(20/92{,}5)}{\ln 0{,}990} \approx 152 \text{ min}.

Modellen er altså bare brukbar fra geleen settes til avkjøling og fram til temperaturen nærmer seg romtemperaturen, omtrent

\boxed{0 \le x \lesssim 152 \text{ minutter}}

For x utenfor dette gir modellen urealistiske temperaturer (under romtemperatur). (Den offisielle fasiten oppgir 155{,}7 min; forskjellen skyldes at fasiten bruker en uavrundet regresjonsbase (\approx 0{,}9902), mens vi her regner med den oppgitte, avrundede modellen 0{,}990^x. Begge gir samme konklusjon om gyldighetsområdet.)

Oppgave 10 (Oppgavetype 2)

Oppgave. En parabel er skissert med nullpunkter i x = -2 og x = 3 (åpner oppover). Vis og gjør rede for hvordan skissen kan brukes til å løse ulikheten x^2 - x > 6.

Løsning. Vi flytter alt over på én side:

x^2 - x > 6 \;\Longleftrightarrow\; x^2 - x - 6 > 0.

Funksjonen g(x) = x^2 - x - 6 er nettopp parabelen i skissen. Vi finner nullpunktene:

x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3) = 0 \;\Longrightarrow\; x = -2 \;\text{eller}\; x = 3,

som stemmer med skissen. Parabelen åpner oppover, så grafen ligger over x-aksen (g(x) > 0) til venstre for det venstre nullpunktet og til høyre for det høyre nullpunktet:

g(x) > 0 \quad\text{når}\quad x < -2 \;\text{eller}\; x > 3.

\boxed{x < -2 \;\text{eller}\; x > 3}

Fra skissen ser man dette direkte: den delen av parabelen som ligger over x-aksen, svarer til løsningen av ulikheten.

Oppgave 11 (Oppgavetype 2)

Oppgave. Figurene er laget av fyrstikker. Figur n består av et n \times n-rutenett av små kvadrater (figur 1: 1 kvadrat, figur 2: 4 kvadrater, figur 3: 9 kvadrater). Du har 10 000 fyrstikker. a) Hvor mange figurer kan du lage (én i hver størrelse)? b) Hvor mange fyrstikker har du igjen etter den siste?

Antall fyrstikker i figur n. I et n \times n-rutenett er det (n+1) vannrette linjer med n fyrstikker hver, og (n+1) loddrette linjer med n fyrstikker hver:

P(n) = 2n(n+1).

Kontroll: P(1) = 4, P(2) = 12, P(3) = 24 — stemmer med figurene.

Sum av de første n figurene.

S(n) = \sum_{k=1}^{n} 2k(k+1) = \frac{2n(n+1)(n+2)}{3}.

a) Vi trenger den største n med S(n) \le 10\,000. Vi regner:

S(23) = \frac{2\cdot 23\cdot 24\cdot 25}{3} = 9200, \qquad S(24) = \frac{2\cdot 24\cdot 25\cdot 26}{3} = 10\,400.

Siden S(24) > 10\,000, rekker fyrstikkene til figur 23, men ikke figur 24.

\boxed{23 \text{ figurer}}

b) Fyrstikker igjen:

10\,000 - S(23) = 10\,000 - 9200 = 800.

\boxed{800 \text{ fyrstikker igjen}}

Program. Programmet summerer fyrstikkene figur for figur til summen overstiger 10 000.

total = 0
n = 0
while True:
    n += 1
    p = 2 * n * (n + 1)          # fyrstikker i figur n
    if total + p > 10000:
        n -= 1                   # denne figuren får vi ikke laget
        break
    total += p
print("Antall figurer:", n)            # 23
print("Fyrstikker igjen:", 10000 - total)  # 800

#include <iostream>
int main() {
    int total = 0, n = 0;
    while (true) {
        n += 1;
        int p = 2 * n * (n + 1);   // fyrstikker i figur n
        if (total + p > 10000) { n -= 1; break; }
        total += p;
    }
    std::cout << "Antall figurer: " << n << "\n";            // 23
    std::cout << "Fyrstikker igjen: " << 10000 - total << "\n"; // 800
    return 0;
}

Oppgave 12 (Oppgavetype 2)

Oppgave. I dag (x = 0) er det 280 kaniner i et område. En sykdom sprer seg, og om 20 måneder er det bare 40 kaniner igjen. a) Lag en modell dersom antallet avtar lineært. b) Lag en modell dersom antallet avtar eksponentielt.

a) Lineær modell. L(x) = ax + b med b = L(0) = 280. Stigningstallet er

a = \frac{40 - 280}{20 - 0} = \frac{-240}{20} = -12.

\boxed{L(x) = 280 - 12x}

Antallet synker med 12 kaniner per måned. (Modellen er gyldig fram til L(x) = 0, dvs. ved x = \tfrac{280}{12} \approx 23{,}3 måneder.)

b) Eksponentiell modell. E(x) = 280\cdot k^x med E(20) = 40:

280\cdot k^{20} = 40 \;\Longrightarrow\; k^{20} = \frac{40}{280} = \frac{1}{7} \;\Longrightarrow\; k = \left(\frac{1}{7}\right)^{1/20} \approx 0{,}907.

\boxed{E(x) = 280\cdot 0{,}907^{\,x}}

Antallet synker med ca. 9{,}3\,\% per måned.

Oppgave 13 (Oppgavetype 2)

Oppgave. f(x) = x^3 - x - 1. Grafen har to tangenter som er parallelle med linjen y = \tfrac12 x + 2. Bestem skjæringspunktet med x-aksen for hver av disse tangentene eksakt.

Løsning. Tangenter parallelle med y = \tfrac12 x + 2 har stigningstall \tfrac12. Vi finner punktene der f'(x) = \tfrac12:

f'(x) = 3x^2 - 1 = \frac12 \;\Longrightarrow\; 3x^2 = \frac32 \;\Longrightarrow\; x^2 = \frac12 \;\Longrightarrow\; x = \pm\frac{\sqrt2}{2}.

Tangent 1 i x_1 = -\dfrac{\sqrt2}{2}. Funksjonsverdien:

f\!\left(-\tfrac{\sqrt2}{2}\right) = \left(-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)^3 - \left(-\tfrac{\sqrt2}{2}\right) - 1 = -\tfrac{\sqrt2}{4} + \tfrac{\sqrt2}{2} - 1 = \tfrac{\sqrt2}{4} - 1.

Tangentlinjen: y = \tfrac12\big(x - x_1\big) + f(x_1). Skjæring med x-aksen (y = 0):

x = x_1 - 2f(x_1) = -\tfrac{\sqrt2}{2} - 2\left(\tfrac{\sqrt2}{4} - 1\right) = -\tfrac{\sqrt2}{2} - \tfrac{\sqrt2}{2} + 2 = 2 - \sqrt2.

Tangent 2 i x_2 = \dfrac{\sqrt2}{2}. Funksjonsverdien:

f\!\left(\tfrac{\sqrt2}{2}\right) = \tfrac{\sqrt2}{4} - \tfrac{\sqrt2}{2} - 1 = -\tfrac{\sqrt2}{4} - 1.

Skjæring med x-aksen:

x = x_2 - 2f(x_2) = \tfrac{\sqrt2}{2} - 2\left(-\tfrac{\sqrt2}{4} - 1\right) = \tfrac{\sqrt2}{2} + \tfrac{\sqrt2}{2} + 2 = 2 + \sqrt2.

\boxed{x = 2 - \sqrt2 \quad\text{og}\quad x = 2 + \sqrt2}

(Numerisk: x \approx 0{,}59 og x \approx 3{,}41.)

Oppgave 14 (Oppgavetype 2)

Oppgave. La f og g være to andregradspolynomer med «omvendt rekkefølge» på koeffisientene, f.eks. f(x) = x^2 - 5x + 6 og g(x) = 6x^2 - 5x + 1. a) Finn sammenhengen mellom nullpunktene til slike polynomer. b) Bevis at sammenhengen gjelder for alle slike polynomer.

a) Sammenhengen. For eksemplet:

f(x) = x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) \;\Rightarrow\; \text{nullpunkter } x = 2,\; x = 3, g(x) = 6x^2 - 5x + 1 = (2x-1)(3x-1) \;\Rightarrow\; \text{nullpunkter } x = \tfrac12,\; x = \tfrac13.

Nullpunktene til g er de inverse (resiproke) av nullpunktene til f: \tfrac12 = \tfrac{1}{2} og \tfrac13 = \tfrac{1}{3}.

\boxed{\text{Nullpunktene til } g \text{ er } \tfrac{1}{x} \text{ for hvert nullpunkt } x \text{ til } f.}

b) Bevis. La f(x) = ax^2 + bx + c med a, c \neq 0. «Omvendt rekkefølge» betyr

g(x) = cx^2 + bx + a.

Anta at p er et nullpunkt for f, altså f(p) = ap^2 + bp + c = 0. Da er p \neq 0 (ellers ville c = 0). Vi deler likningen på p^2:

\frac{ap^2 + bp + c}{p^2} = a + b\cdot\frac{1}{p} + c\cdot\frac{1}{p^2} = 0.

Skriver vi om leddene, blir dette

c\left(\frac{1}{p}\right)^2 + b\left(\frac{1}{p}\right) + a = 0,

som er nettopp g\!\left(\tfrac{1}{p}\right) = 0. Altså er \tfrac{1}{p} et nullpunkt for g. Dette gjelder for hvert nullpunkt p til f, så nullpunktene til g er de resiproke av nullpunktene til f. \blacksquare

Oppgave 15 (Oppgavetype 3)

Oppgave. Utforsk skjæringspunktene mellom f(x) = ax og g(x) = \dfrac{b}{x}. Koordinatene skal være positive hele tall (eksempler i figuren: (1,1) og (3,9)). Hvilke verdier av a, b \in \mathbb{N} gir et skjæringspunkt der begge koordinatene er positive hele tall?

Generell utregning. Skjæringspunktet finnes der f(x) = g(x):

ax = \frac{b}{x} \;\Longrightarrow\; x^2 = \frac{b}{a} \;\Longrightarrow\; x = \sqrt{\frac{b}{a}} \quad (x > 0).

y-koordinaten blir

y = ax = a\sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{a^2\cdot\frac{b}{a}} = \sqrt{ab}.

Altså er skjæringspunktet

\left(\sqrt{\tfrac{b}{a}},\;\sqrt{ab}\right).

Utforsking. Vi vil ha begge koordinatene som positive hele tall. La x = k være et positivt heltall. Da må

k = \sqrt{\frac{b}{a}} \;\Longrightarrow\; \frac{b}{a} = k^2 \;\Longrightarrow\; b = a\,k^2.

Med dette blir y-koordinaten automatisk et heltall:

y = \sqrt{ab} = \sqrt{a\cdot a k^2} = a k,

som er et helt tall siden a og k er det. Skjæringspunktet er da (k,\,ak).

Vi prøver oss fram (begynner med a = 1):

Eksemplene i figuren passer: (1,1) får vi med a = 1,\ b = 1, og (3,9) får vi med a = 3,\ b = 27 (siden y = ak = 3\cdot 3 = 9).

Konklusjon.

\boxed{\;\text{For } a \in \mathbb{N} \text{ gir } b = a\,k^2,\; k \in \mathbb{N},\text{ skjæringspunkt } (k,\,ak)\text{ med hele tall.}\;}

Med andre ord: skjæringspunktet har positive heltallskoordinater nøyaktig når \dfrac{b}{a} er et kvadrattall (slik at \sqrt{b/a} blir et helt tall); y = ak er da alltid helt.

Program (lister opp gyldige (a,b) og skjæringspunktene).

for a in range(1, 6):            # velg a = 1, 2, 3, ...
    for k in range(1, 6):        # x-koordinat k = 1, 2, 3, ...
        b = a * k * k
        x, y = k, a * k
        print(f"a={a}, b={b}  ->  skjaering ({x}, {y})")
# a=1, b=1  -> skjaering (1, 1)
# a=3, b=27 -> skjaering (3, 9)   (blant utskriftene)

#include <iostream>
int main() {
    for (int a = 1; a <= 5; ++a)          // velg a = 1, 2, 3, ...
        for (int k = 1; k <= 5; ++k) {    // x-koordinat k
            int b = a * k * k;
            int x = k, y = a * k;
            std::cout << "a=" << a << ", b=" << b
                      << "  ->  skjaering (" << x << ", " << y << ")\n";
        }
    // a=1, b=1  -> skjaering (1, 1)
    // a=3, b=27 -> skjaering (3, 9)   (blant utskriftene)
    return 0;
}

Oppgave 16 (Oppgavetype 3)

Oppgave. Siri har brukt cosinussetningen og fått likningen a^2 = 8^2 + x^2 - 8x. Undersøk hvordan trekanter som tilfredsstiller likningen kan se ut for ulike verdier av a.

Tolkning av likningen. Cosinussetningen for en trekant der a er siden motstående vinkelen A, og de to andre sidene er 8 og x med mellomliggende vinkel A:

a^2 = 8^2 + x^2 - 2\cdot 8\cdot x\cdot \cos A.

Sammenligner vi med a^2 = 8^2 + x^2 - 8x, ser vi at

2\cdot 8\cdot \cos A = 8 \;\Longrightarrow\; \cos A = \frac{8}{16} = \frac12 \;\Longrightarrow\; A = 60^\circ.

Likningen beskriver altså alle trekanter med én side lik 8, en annen side lik x, og mellomliggende vinkel 60^\circ. Den tredje siden er a.

Hvordan a avhenger av x. Vi ser på

a^2 = x^2 - 8x + 64.

Dette er en parabel i x (åpner oppover). Den minste verdien av a^2 får vi i toppunktet for a^2, dvs. der den deriverte er null:

\frac{d}{dx}(x^2 - 8x + 64) = 2x - 8 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 4.

Da blir

a^2 = 16 - 32 + 64 = 48 \;\Longrightarrow\; a_{\min} = \sqrt{48} = 4\sqrt3 \approx 6{,}93.

Ved x = 4 er de to sidene rundt 60^\circ-vinkelen begge lik… x = 4 og den andre = 8. La oss undersøke ulike a:

• a < 4\sqrt3: Da har x^2 - 8x + 64 = a^2 ingen reell løsning (a^2 < 48). Ingen trekant finnes.
• a = 4\sqrt3: Likningen x^2 - 8x + 16 = 0 gir x = 4 (dobbeltrot). Nøyaktig én trekant, med sider 8, 4 og 4\sqrt3 rundt 60^\circ. (Dette er den «smaleste» trekanten.)
• 4\sqrt3 < a < 8: Andregradslikningen x^2 - 8x + (64 - a^2) = 0 har to positive løsninger (produktet 64 - a^2 > 0, summen 8 > 0). To ulike trekanter tilfredsstiller likningen.
• a = 8: Likningen x^2 - 8x = 0 gir x = 0 eller x = 8. Bare x = 8 gir en ekte trekant (sider 8, 8, 8 — likesidet!). Én trekant.
• a > 8: Likningen x^2 - 8x + (64 - a^2) = 0 har én positiv og én negativ løsning (64 - a^2 < 0). Bare den positive gir en trekant. Én trekant.

Oppsummering.

\boxed{\;a_{\min} = 4\sqrt3\ (x=4);\quad a=8 \text{ gir likesidet trekant};\ \text{for } 4\sqrt3 < a < 8 \text{ finnes to trekanter, ellers (gyldig) én.}\;}

For a < 4\sqrt3 finnes ingen trekant. Når a vokser fra 4\sqrt3 blir den variable siden x stadig lengre (eller kortere) og trekanten «åpner seg»; ved a = 8 blir den likesidet, og for a > 8 blir siden a den klart lengste.

Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Kilde og fasit: matematikk.net. Ikke tilknyttet Utdanningsdirektoratet.