Matematikk 1T — Vår 2024

Løsningsforslag (Del 1 og Del 2) · MAT1021 · Vår 2024 · LK20 · ✓ Sammenholdt m/ matematikk.net · Uoffisielt

Om dette løsningsforslaget. Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Oppgaveteksten er ikke gjengitt i sin helhet; hver oppgave vises med nummer og et kort sammendrag. Kilde: oppgaven og matematikk.net sitt løsningsforslag. Sluttsvar er sammenholdt med matematikk.net sin versjon — se den ved tvil.

DEL 1 — Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng)

Oppgave. En rettvinklet trekant har kateter 8 og 6 og hypotenus 10. Den spisse vinkelen u ligger øverst (motstående katet 6), og v ligger nederst til høyre (motstående katet 8). Tom påstår at \tan u \cdot \tan v = 1. a) Vis at Tom har rett. b) Avgjør om påstanden gjelder for alle rettvinklede trekanter med to spisse vinkler u og v.

a) I trekanten er \tan u = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}} = \frac{6}{8}, \qquad \tan v = \frac{8}{6}. Da blir \tan u \cdot \tan v = \frac{6}{8}\cdot\frac{8}{6} = 1. \qquad \boxed{\tan u \cdot \tan v = 1}

b) Ja, dette gjelder generelt. Kall katetene a og b. Da er \tan u = \dfrac{a}{b} og \tan v = \dfrac{b}{a} (de bytter teller og nevner fordi det som er motstående katet for den ene vinkelen, er hosliggende for den andre). Dermed \tan u \cdot \tan v = \frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a} = 1. Alternativt: i en rettvinklet trekant er u + v = 90^\circ, så v = 90^\circ - u og \tan v = \cot u = \dfrac{1}{\tan u}. Da blir produktet alltid 1.

\boxed{\text{Påstanden gjelder for alle rettvinklede trekanter.}}

Oppgave 2 (3 poeng)

Oppgave. Guri har utført to ulike polynomdivisjoner og påstår at begge viser at faktoriseringen 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 = (2x^2 + 7x + 3)(x-2) er riktig. Hvilke to polynomdivisjoner kan hun ha utført? Utfør dem, og forklar at hver av dem viser at faktoriseringen stemmer.

Løsning. En faktorisering P = Q\cdot R kan kontrolleres på to måter: enten dele P på Q (skal gi R uten rest), eller dele P på R (skal gi Q uten rest).

Divisjon 1: (2x^3+3x^2-11x-6) : (x-2) \begin{aligned} 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 &: (x-2) = 2x^2 + 7x + 3\\ \underline{-(2x^3 - 4x^2)}&\\ 7x^2 - 11x - 6&\\ \underline{-(7x^2 - 14x)}&\\ 3x - 6&\\ \underline{-(3x - 6)}&\\ 0& \end{aligned} Resten er 0, og kvotienten er 2x^2 + 7x + 3. Det viser at (x-2) er en faktor og at den andre faktoren er nettopp 2x^2+7x+3.

Divisjon 2: (2x^3+3x^2-11x-6) : (2x^2+7x+3) \begin{aligned} 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 &: (2x^2+7x+3) = x - 2\\ \underline{-(2x^3 + 7x^2 + 3x)}&\\ -4x^2 - 14x - 6&\\ \underline{-(-4x^2 - 14x - 6)}&\\ 0& \end{aligned} Også her er resten 0, og kvotienten er x-2.

Begge divisjonene går opp uten rest, så \boxed{2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 = (2x^2 + 7x + 3)(x - 2).}

Oppgave 3 (2 poeng)

Oppgave. Figuren viser et a \times a-kvadrat der et lite b \times b-kvadrat i nederste høyre hjørne er fjernet (hvitt). Sett opp en matematisk identitet med utgangspunkt i arealet av det grønne (gjenværende) området.

Løsning. Det grønne arealet er hele kvadratet minus det lille hvite kvadratet: A_{\text{grønn}} = a^2 - b^2. Samme areal kan regnes ut fra figurens to grønne deler (slik målene er satt opp):

• venstre felt: bredde (a-b) og høyde a, areal a(a-b),
• øvre høyre felt: bredde b og høyde (a-b), areal b(a-b).

Til sammen a(a-b) + b(a-b) = (a-b)(a+b). Setter vi de to uttrykkene for samme areal lik hverandre, får vi konjugatsetningen: \boxed{a^2 - b^2 = (a+b)(a-b).}

Oppgave 4 (2 poeng)

Oppgave. Ada har laget programmet under (Python). Med f(x) = x^2 - 3x + 7, a = 0, b = 5, regnes v = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} ut og skrives ut. Hvilken verdi blir skrevet ut, og hva forteller denne verdien?

Løsning. Vi regner ut funksjonsverdiene: f(0) = 0 - 0 + 7 = 7, \qquad f(5) = 25 - 15 + 7 = 17. Da blir v = \frac{f(5) - f(0)}{5 - 0} = \frac{17 - 7}{5} = \frac{10}{5} = 2.

Programmet skriver ut \boxed{v = 2}. Uttrykket \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} er stigningstallet til den rette linjen (sekanten) mellom punktene (0, f(0)) og (5, f(5)). Verdien forteller altså den gjennomsnittlige vekstfarten til f fra x = 0 til x = 5: i gjennomsnitt vokser f med 2 enheter per enhet x på dette intervallet.

For elever som bruker C++, gir denne koden samme svar:

#include <iostream>
double f(double x) { return x*x - 3*x + 7; }
int main() {
    double a = 0, b = 5;
    double v = (f(b) - f(a)) / (b - a);
    std::cout << v << "\n";   // 2
    return 0;
}

Oppgave 5 (4 poeng)

Oppgave. Figuren viser grafen til en funksjon f. Grafen er en parabel med nullpunkter (-3, 0) og (4, 0) og skjæring med y-aksen i (0, 24). a) Bestem f(x). b) Løs ulikheten f(x) > 12.

a) Nullpunktene x = -3 og x = 4 gir faktorisert form f(x) = a(x + 3)(x - 4). Grafen går gjennom (0, 24), så 24 = a(0+3)(0-4) = -12a \;\Longrightarrow\; a = -2. Dermed f(x) = -2(x+3)(x-4) = \boxed{-2x^2 + 2x + 24.} (Parabelen åpner nedover, i samsvar med figuren.)

b) Vi løser f(x) > 12: -2x^2 + 2x + 24 > 12 \;\Longrightarrow\; -2x^2 + 2x + 12 > 0 \;\Longrightarrow\; x^2 - x - 6 < 0. Faktoriserer: x^2 - x - 6 = (x+2)(x-3), med nullpunkter x = -2 og x = 3. Siden x^2 - x - 6 er en parabel som åpner oppover, er den negativ mellom nullpunktene: \boxed{\,-2 < x < 3\,}

DEL 2 — Med hjelpemidler

Oppgave 1 (8 poeng)

Oppgave. En tabell viser solgte bagetter (100, 130, 160, 175, 190, 220, 235) og tilhørende ukentlig overskudd i kroner (1450, 2300, 3050, 3365, 3720, 4140, 4175). a) Vis at O(x) = -0{,}09x^2 + 51{,}04x - 2776{,}98 er en god modell for overskuddet når x bagetter selges. b) Hvor mange bagetter gir størst overskudd, og hvor stort blir det? c) Stigningstall til linjen gjennom (100, O(100)) og (200, O(200)), med praktisk tolkning. d) Momentan vekstfart ved x = 235, med praktisk tolkning.

a) Gjør en kvadratisk regresjon (CAS/regneark) på tallparene. Regresjonen gir O(x) \approx -0{,}0903\,x^2 + 51{,}037\,x - 2776{,}98, som er praktisk talt identisk med den oppgitte modellen -0{,}09x^2 + 51{,}04x - 2776{,}98. At minste kvadraters tilpasning reproduserer nettopp disse koeffisientene, er det sterkeste argumentet for at modellen passer.

Som kontroll setter vi inn noen verdier:

Modellverdiene ligger nær de observerte tallene, så O er en god modell.

b) O er en andregradsfunksjon som åpner nedover, så maksimum ligger i toppunktet. Vi deriverer og setter lik null: O'(x) = -0{,}18x + 51{,}04 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{51{,}04}{0{,}18} \approx 283{,}6. Antall bagetter må være et helt tall, så x \approx 284. Da blir O(284) \approx 4459 \text{ kr}. \boxed{\text{Ca. } 284 \text{ bagetter gir størst overskudd, ca. } 4459 \text{ kr.}}

c) Stigningstallet til linjen gjennom (100, O(100)) og (200, O(200)): O(100) = 1427, \qquad O(200) = -0{,}09\cdot 40000 + 51{,}04\cdot 200 - 2776{,}98 = 3831. a = \frac{O(200) - O(100)}{200 - 100} = \frac{3831 - 1427}{100} = \boxed{24{,}04 \text{ kr/bagett.}} Tolkning: Når salget øker fra 100 til 200 bagetter, øker overskuddet i gjennomsnitt med ca. 24 kroner per ekstra bagett.

Merk (fasit): Vi bruker den oppgitte modellen O(x) = -0{,}09x^2 + 51{,}04x - 2776{,}98 og får 24{,}04. Den offisielle fasiten bruker den uavrundede regresjonsmodellen direkte (GeoGebra) og får \approx 23{,}96. Begge er riktige; forskjellen skyldes kun avrunding av regresjonskoeffisientene.

d) Momentan vekstfart er den deriverte: O'(235) = -0{,}18\cdot 235 + 51{,}04 = -42{,}3 + 51{,}04 = \boxed{8{,}74 \text{ kr/bagett.}} Tolkning: Ved et salg på 235 bagetter øker overskuddet med ca. 8{,}74 kroner for hver ekstra bagett som selges. Veksten er fortsatt positiv, men avtakende (vi nærmer oss toppunktet ved x \approx 284).

Merk (fasit): Med den oppgitte modellen O(x) = -0{,}09x^2 + 51{,}04x - 2776{,}98 blir O'(235) = 8{,}74. Den offisielle fasiten regner med den uavrundede regresjonsmodellen og får \approx 8{,}61. Begge svar er korrekte; avviket skyldes avrunding av modellkoeffisientene.

Oppgave 2 (3 poeng)

Oppgave. Når en lysstråle går fra luft til vann, gjelder \sin u = 1{,}33 \cdot \sin v, der u er innfallsvinkelen (i luft) og v brytningsvinkelen (i vann), begge målt fra normalen m. a) Hvor stor må u være for at v = 39^\circ? b) Hva skjer med v når u \to 90^\circ? c) Kan u og v bli like store?

a) Sett inn v = 39^\circ: \sin u = 1{,}33 \cdot \sin 39^\circ \approx 1{,}33 \cdot 0{,}6293 \approx 0{,}8370. u = \sin^{-1}(0{,}8370) \approx \boxed{56{,}8^\circ.}

b) Når u \to 90^\circ er \sin u \to 1, så \sin v = \frac{\sin u}{1{,}33} \to \frac{1}{1{,}33} \approx 0{,}7519 \;\Longrightarrow\; v \to \sin^{-1}(0{,}7519) \approx 48{,}8^\circ. \boxed{v \text{ nærmer seg ca. } 48{,}8^\circ \text{ (den største mulige brytningsvinkelen).}} Selv om lyset kommer inn nesten langs vannflata, brytes strålen aldri mer enn til ca. 48{,}8^\circ fra normalen.

c) Anta u = v. Da gir likningen \sin u = 1{,}33 \cdot \sin u \;\Longrightarrow\; \sin u\,(1 - 1{,}33) = 0 \;\Longrightarrow\; \sin u = 0. Eneste løsning er u = v = 0^\circ, altså at lyset går rett inn langs normalen og ikke brytes i det hele tatt. For alle reelle innfallsvinkler u > 0^\circ er v < u. \boxed{\text{Nei (bortsett fra det trivielle tilfellet } u = v = 0^\circ\text{).}}

Oppgave 3 (4 poeng)

Oppgave. En trekant ABC har AB = 8, \angle A = 120^\circ og areal 4\sqrt3. Bestem sidene AC og BC eksakt.

Løsning. Sidene AB og AC ligger inntil vinkel A. Arealformelen gir A = \tfrac12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A \;\Longrightarrow\; 4\sqrt3 = \tfrac12 \cdot 8 \cdot AC \cdot \sin 120^\circ. Med \sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}: 4\sqrt3 = \tfrac12 \cdot 8 \cdot AC \cdot \tfrac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3 \cdot AC \;\Longrightarrow\; AC = \frac{4\sqrt3}{2\sqrt3} = 2. \boxed{AC = 2.}

Den siste siden BC (motstående \angle A) finner vi med cosinussetningen. Med \cos 120^\circ = -\dfrac12: BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A = 64 + 4 - 2\cdot 8\cdot 2\cdot\left(-\tfrac12\right) = 68 + 16 = 84. BC = \sqrt{84} = \sqrt{4\cdot 21} = \boxed{2\sqrt{21}.}

Oppgave 4 (4 poeng)

Oppgave. Med summene S_1 = 1, S_2 = 1+3, S_3 = 1+3+5, … (summen av de n første oddetallene). a) Lag et program som summerer og skriver ut S_1, S_2, \dots, S_{20}. b) Beskriv sammenhengen du oppdager, og bruk kulefiguren til å argumentere for at den må være riktig.

a) Program (Python):

S = 0
for n in range(1, 21):
    S += 2 * n - 1        # n-te oddetall
    print(f"S{n} = {S}")
# Utskrift: S1 = 1, S2 = 4, S3 = 9, ... , S20 = 400

Program (C++):

#include <iostream>
int main() {
    int S = 0;
    for (int n = 1; n <= 20; ++n) {
        S += 2 * n - 1;                       // n-te oddetall
        std::cout << "S" << n << " = " << S << "\n";
    }
    return 0;   // S1 = 1, S2 = 4, ... , S20 = 400
}

b) Utskriften er 1, 4, 9, 16, 25, \dots, 400 — altså kvadrattallene. Sammenhengen er \boxed{S_n = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2.}

Argument fra figuren: Kulene er ordnet i et kvadrat med n rader og n kolonner, altså n^2 kuler. Vi kan dele kvadratet inn i vinkelformede «L-skall»: det innerste hjørnet er 1 kule, neste L-skall legger til 3 kuler, så 5, så 7, og generelt har det k-te skallet 2k-1 kuler. Å bygge opp hele n\times n-kvadratet skall for skall betyr nettopp å legge sammen oddetallene 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1). Siden hele figuren er et n\times n-kvadrat, må summen være n^2.

Oppgave 5 (8 poeng)

Oppgave. En tabell viser lufttrykk x (hPa) og kokepunktet K for vann (^\circC): (1000, 100), (500,\,81{,}4), (200,\,60{,}1), (80,\,41{,}5), (40, 29). a) Bestem en modell K(x) = a\cdot x^b. b) Ari modellerer lufttrykket x km over havet med ca. 12\,\% nedgang per km; Lisa bruker at trykket halveres hver 5{,}5 km. Lag begge modellene. c) Et egg blir ikke hardkokt om vanntemperaturen er lavere enn 85^\circC. Omtrent hvor høyt over havet kan man fortsatt få egg hardkokt?

a) Vi gjør en potensregresjon på tabellverdiene (CAS/regneark). Det gir (eksakte siffer varierer litt med verktøy) \boxed{K(x) \approx 7{,}56 \cdot x^{\,0{,}380}.} Modellen passer godt: f.eks. K(1000) \approx 105, K(500) \approx 80, K(200) \approx 57, K(80) \approx 40, K(40) \approx 31, som ligger nær de oppgitte verdiene.

b) La P(x) være lufttrykket (hPa) i høyden x km, med utgangstrykk 1000 hPa ved havflata.

• Ari: 12\,\% nedgang per km betyr at trykket multipliseres med 0{,}88 for hver km: \boxed{P_{\text{Ari}}(x) = 1000 \cdot 0{,}88^{\,x}.}
• Lisa: Halvering hver 5{,}5 km betyr vekstfaktor 0{,}5 per 5{,}5 km, altså per km vekstfaktor 0{,}5^{1/5{,}5} \approx 0{,}881: \boxed{P_{\text{Lisa}}(x) = 1000 \cdot 0{,}5^{\,x/5{,}5} \approx 1000 \cdot 0{,}881^{\,x}.} De to modellene gir nesten samme per-km-faktor (0{,}88 mot 0{,}881), så de er praktisk talt sammenfallende.

c) Egget blir hardkokt så lenge kokepunktet er minst 85^\circC. Vi finner først hvilket lufttrykk som svarer til K(x) = 85: 7{,}56 \cdot x^{0{,}380} = 85 \;\Longrightarrow\; x = \left(\frac{85}{7{,}56}\right)^{1/0{,}380} \approx 578 \text{ hPa.} Lufttrykket må altså være minst ca. 578 hPa. Vi finner høyden der trykket har sunket til 578 hPa (Ari-modellen): 1000 \cdot 0{,}88^{\,x} = 578 \;\Longrightarrow\; x = \frac{\ln(0{,}578)}{\ln(0{,}88)} \approx 4{,}3 \text{ km.} Lisas modell gir nesten samme svar (ca. 4{,}3 km). \boxed{\text{Man kan få egg hardkokt opp til ca. } 4{,}3 \text{ km over havet.}} Over denne høyden er trykket — og dermed kokepunktet — for lavt til at vannet blir varmt nok (\geq 85^\circC).

Oppgave 6 (2 poeng)

Oppgave. Den tegnede rette linjen i koordinatsystemet er grafen til den deriverte f' av en funksjon f. Punktet P(1, 2) ligger på grafen til f. Bestem likningen for tangenten til grafen til f i punktet P. Husk å argumentere.

Løsning. Først leser vi av f' fra figuren. Den rette linjen går gjennom (2, 0) og stiger; den passerer også (4, 4). Stigningstallet er \frac{4 - 0}{4 - 2} = 2, og linjen skjærer x-aksen i x = 2, så f'(x) = 2(x - 2) = 2x - 4.

Argument: Stigningstallet til tangenten til f i et punkt er nettopp den deriverte i punktets x-verdi. Tangenten i P(1, 2) har derfor stigningstall f'(1) = 2\cdot 1 - 4 = -2. Vi leser av samme verdi direkte: linjen f' har y-verdi -2 ved x = 1. Tangenten gjennom P(1, 2) med stigningstall -2: y - 2 = -2(x - 1) \;\Longrightarrow\; y = -2x + 4. \boxed{y = -2x + 4} Kontroll: i x = 1 gir tangenten y = -2 + 4 = 2, som stemmer med P.

Oppgave 7 (6 poeng)

Oppgave. Tre grafer danner til sammen en lukket kurve (jf. figuren). Krav: (i) to av grafene har bunnpunkt som ligger på y-aksen; (ii) punktene A og B har samme y-koordinat. Velg tre ulike funksjoner og lag en tilsvarende figur. Forklar og argumenter for at løsningen er riktig.

Løsning. Vi bygger én lukket kurve av tre grafstykker som henger sammen ende-mot-ende. For at to av grafene skal ha bunnpunkt på y-aksen, bruker vi to parabler som åpner oppover med toppunkt (bunnpunkt) i x = 0, og ett linjestykke. Vi styrer definisjonsmengdene slik at endepunktene faller sammen.

Et valg som oppfyller alle kravene er:

\boxed{ \begin{aligned} f_1(x) &= x^2 - 4, &&x \in [-2,\,2] &&\text{(blå, nedre bue)}\\ f_2(x) &= \tfrac12 x^2 - 2, &&x \in [-2,\,0] &&\text{(grønn, øvre venstre)}\\ f_3(x) &= x - 2, &&x \in [0,\,2] &&\text{(grå, øvre høyre — rett linje)} \end{aligned} }

Vi sjekker endepunktene til hvert stykke:

Argument for at kravene er oppfylt:

1. To bunnpunkter på y-aksen. f_1 er en parabel som åpner oppover med bunnpunkt (0, -4), og f_2 er en parabel som åpner oppover med bunnpunkt (0, -2). Begge bunnpunktene har x = 0, altså ligger de på y-aksen. ✓
2. Lukket kurve. Stykkene møtes i felles endepunkter og danner en sammenhengende løkke: (-2, 0) \xrightarrow{\;f_2\;} (0, -2) \xrightarrow{\;f_3\;} (2, 0) \xrightarrow{\;f_1\;} (-2, 0). Siden start- og sluttpunktet er det samme (-2, 0), og hver overgang skjer i et felles punkt, er kurven lukket. ✓
3. A og B har samme y-koordinat. Sett A = (-2, 0) (det venstre hjørnet, der f_1 og f_2 møtes) og B = (2, 0) (det høyre hjørnet, der f_1 og f_3 møtes). Begge har y = 0, så de ligger på samme vannrette linje. ✓

Merk: Oppgaven har svært mange riktige svar. Det avgjørende er at (i) to av grafene har bunnpunkt på y-aksen, (ii) to merkede punkter A og B har samme y-verdi, og (iii) grafstykkene møtes i felles endepunkter slik at kurven faktisk lukkes. Hvert funksjonsuttrykk må oppgis sammen med sitt definisjonsintervall.

Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Kilde og fasit: matematikk.net. Ikke tilknyttet Utdanningsdirektoratet.