Matematikk 1T — Vår 2026
Om dette løsningsforslaget. Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Oppgaveteksten er ikke gjengitt i sin helhet; hver oppgave vises med nummer og et kort sammendrag. Kilde: oppgaven og matematikk.net sitt løsningsforslag. Sluttsvar er sammenholdt med matematikk.net sin versjon — se den ved tvil.
DEL 1 — Uten hjelpemidler
Oppgave 1 (2 poeng)
Oppgave. Løs ulikheten x^2 + 7x + 6 \le 0.
Løsning. Vi faktoriserer venstresiden. Nullpunktene til x^2+7x+6 er der
x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} = \frac{-7 \pm 5}{2},
altså x = -6 og x = -1. Dermed er x^2+7x+6 = (x+6)(x+1).
Parabelen åpner oppover, så uttrykket er negativt (eller null) mellom nullpunktene:
\boxed{\,x \in [-6,\,-1]\,}
Oppgave 2 (4 poeng)
Oppgave. Gitt likningssystemet -x^2 + 4 = y og x - y = 2. a) Løs ved regning. b) Løs grafisk.
a) Ved regning. Fra den andre likningen er y = x - 2. Sett inn i den første:
-x^2 + 4 = x - 2 \;\Longrightarrow\; x^2 + x - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; (x+3)(x-2) = 0,
så x = -3 eller x = 2. Tilhørende y-verdier fra y = x-2:
- x = -3 \;\Rightarrow\; y = -5
- x = 2 \;\Rightarrow\; y = 0
\boxed{(-3,\,-5) \quad \text{og} \quad (2,\,0)}
b) Grafisk. Tegn parabelen y = -x^2 + 4 (toppunkt (0,4), nullpunkter x = \pm 2) og linjen y = x - 2 i samme koordinatsystem. Skjæringspunktene er nettopp (-3,-5) og (2,0), i samsvar med a).
Oppgave 3 (3 poeng)
Oppgave. Løs likningen 2x^3 + 3x^2 - 18x + 8 = 0.
Løsning. Vi prøver heltallsdelere av konstantleddet. x = 2 gir
2\cdot 8 + 3\cdot 4 - 18\cdot 2 + 8 = 16 + 12 - 36 + 8 = 0,
så x = 2 er en rot, og (x-2) er en faktor. Polynomdivisjon gir
2x^3 + 3x^2 - 18x + 8 = (x-2)(2x^2 + 7x - 4).
Den andre faktoren løses med abc-formelen:
x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4} = \frac{-7 \pm 9}{4} \;\Longrightarrow\; x = \tfrac{1}{2} \;\text{eller}\; x = -4.
\boxed{\,x \in \left\{-4,\; \tfrac{1}{2},\; 2\right\}\,}
Oppgave 4 (2 poeng)
Oppgave. Bestem a, b og c slik at a(x+b)^2 = x^2 + 8x + c blir en identitet.
Løsning. Utvid venstresiden:
a(x+b)^2 = a x^2 + 2ab\,x + ab^2.
Sammenlign koeffisienter med x^2 + 8x + c:
- x^2-ledd: a = 1
- x-ledd: 2ab = 8 \Rightarrow 2b = 8 \Rightarrow b = 4
- konstantledd: c = ab^2 = 1\cdot 4^2 = 16
\boxed{a = 1,\quad b = 4,\quad c = 16}
Oppgave 5 (2 poeng)
Oppgave. Tallfølgen 1,\,3,\,7,\,13,\,21,\dots skrives av Susanne som 0\cdot1+1,\;1\cdot2+1,\;2\cdot3+1,\;3\cdot4+1,\dots a) Finn tall nr. 8. b) Sett opp en formel for tall nr. n.
Mønster. Tall nr. n er (n-1)\cdot n + 1.
a) Tall nr. 8: (8-1)\cdot 8 + 1 = 7\cdot 8 + 1 = \boxed{57}.
b) Formelen blir
a_n = (n-1)\,n + 1 = \boxed{\,n^2 - n + 1\,}.
Oppgave 6 (1 poeng)
Oppgave. I en trekant ABC er vinkel B = 90^\circ og \tan A = 1. Lag en figur og forklar hvordan trekanten kan se ut.
Løsning. Med rett vinkel i B er
\tan A = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}} = \frac{BC}{AB} = 1 \;\Longrightarrow\; BC = AB.
Trekanten er altså rettvinklet i B med to like lange kateter. Da blir de to spisse vinklene like store, og siden de til sammen er 90^\circ, er
\angle A = \angle C = 45^\circ.
Det er en likebeint, rettvinklet trekant (en «halv kvadrat»). Et eksempel er AB = BC = 1, med hypotenus AC = \sqrt{2}.
Oppgave 7 (5 poeng)
Oppgave. a) Bruk en likesidet trekant med side 4 (toppvinkelen delt i to 30^\circ-vinkler av høyden) til å vise at \sin 30^\circ = \tfrac12 og \cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2}. b) Finn arealet og c) omkretsen av en trekant med to sider 10\sqrt3 og 4 og mellomliggende vinkel 30^\circ.
a) Trekanten er likesidet med side 4 (alle vinkler 60^\circ). Høyden fra toppen halverer toppvinkelen i to 30^\circ-vinkler og halverer grunnlinjen. Vi får en rettvinklet trekant med
- hypotenus = 4 (en av sidene i den likesidete trekanten),
- katet motstående 30^\circ = \tfrac{4}{2} = 2 (halve grunnlinjen).
Da er
\sin 30^\circ = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{2}{4} = \boxed{\tfrac12}.
Den siste kateten (høyden) finnes med Pytagoras: \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt3. Dermed
\cos 30^\circ = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{2\sqrt3}{4} = \boxed{\tfrac{\sqrt3}{2}}.
b) Med to sider a = 10\sqrt3 og b = 4 og mellomliggende vinkel 30^\circ:
A = \tfrac12\,a\,b\,\sin 30^\circ = \tfrac12 \cdot 10\sqrt3 \cdot 4 \cdot \tfrac12 = \boxed{10\sqrt3}.
c) Den tredje siden c med cosinussetningen:
c^2 = (10\sqrt3)^2 + 4^2 - 2\cdot 10\sqrt3 \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ = 300 + 16 - 80\sqrt3\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} = 316 - 120 = 196,
så c = 14. Omkretsen blir
O = 10\sqrt3 + 4 + 14 = \boxed{10\sqrt3 + 18}.
Oppgave 8 (4 poeng)
Oppgave. a) Finn et mulig uttrykk for en rasjonal funksjon f med ingen nullpunkt og to vertikale asymptoter. b) Finn et mulig uttrykk for en rasjonal funksjon g med horisontal asymptote y = 2 der grafen ikke skjærer y-aksen.
a) Vertikale asymptoter krever to nullpunkter i nevneren; ingen nullpunkt krever at telleren aldri er null. Velg en teller uten reelle nullpunkter og en nevner med to:
f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 4}.
Argument: Telleren x^2+1 > 0 for alle x, så f har ingen nullpunkt. Nevneren er null for x = \pm 2, som gir to vertikale asymptoter.
b) Horisontal asymptote y=2 får vi når teller og nevner har samme grad og forholdet mellom ledende koeffisienter er 2. At grafen ikke skjærer y-aksen betyr at x=0 ikke er i definisjonsmengden, altså at nevneren er null for x=0:
g(x) = \frac{2x + 1}{x}.
Argument: For store |x| går g(x) \to 2 (horisontal asymptote y=2), og g er ikke definert i x=0, så grafen skjærer ikke y-aksen.
Merk: Begge oppgavene har mange riktige svar; dette er ett eksempel hver.
Oppgave 9 (3 poeng)
Oppgave. f er en andregradsfunksjon med bunnpunkt (-1,\,-12{,}5). En rett linje er tangent til grafen med stigningstall 5 i punktet (4,0). a) Forklar at f'(4) = 5. b) Bestem f'(x).
a) Den deriverte i et punkt er lik stigningstallet til tangenten i punktet. Tangenten i (4,0) har stigningstall 5, derfor er f'(4) = 5.
b) f er en andregradsfunksjon, så f'(x) er lineær: f'(x) = kx + m. Bunnpunktet ligger i x = -1, der den deriverte er null: f'(-1) = 0. Sammen med f'(4) = 5:
\begin{aligned} -k + m &= 0\\ 4k + m &= 5 \end{aligned}
Trekker vi den første fra den andre: 5k = 5 \Rightarrow k = 1, og m = k = 1. Altså
\boxed{f'(x) = x + 1}.
DEL 2 — Med hjelpemidler
Oppgave 1 (5 poeng)
Oppgave. En bil slipper ut U(x) = \dfrac{5400}{x} + 0{,}0074x^2 + 50 gram CO₂ per km ved farten x km/h, for 30 < x < 110. a) Utslipp ved 50 km/h. b) Farten med minst utslipp, og utslippet der. c) Total CO₂ ved 90 km/h i 20 minutter.
a)
U(50) = \frac{5400}{50} + 0{,}0074\cdot 50^2 + 50 = 108 + 18{,}5 + 50 = \boxed{176{,}5 \text{ g/km}}.
b) Minimum finnes der U'(x) = 0:
U'(x) = -\frac{5400}{x^2} + 0{,}0148x = 0 \;\Longrightarrow\; 0{,}0148\,x^3 = 5400 \;\Longrightarrow\; x = \sqrt[3]{\tfrac{5400}{0{,}0148}} \approx 71{,}5 \text{ km/h}.
Utslippet ved denne farten:
U(71{,}5) \approx 163 \text{ g/km}. \qquad \boxed{x \approx 71{,}5 \text{ km/h},\quad U \approx 163 \text{ g/km}}
c) På 20 minutter = \tfrac13 time i 90 km/h kjøres 90 \cdot \tfrac13 = 30 km. Utslippet per km er U(90) = 60 + 59{,}94 + 50 \approx 169{,}9 g/km, så totalt
169{,}9 \cdot 30 \approx 5098 \text{ g} \approx \boxed{5{,}1 \text{ kg CO}_2}.
Oppgave 2 (5 poeng)
Oppgave. I figuren er \angle DAB = 45^\circ, \angle ADB = 60^\circ. C ligger på DB med AC = \sqrt2, CB = 1 og \angle ACB = 105^\circ. a) Bestem AB med trigonometri. b) Bestem arealet av trekant ABD.
a) Se på trekant ACB: vi kjenner AC = \sqrt2, CB = 1 og den mellomliggende vinkelen \angle ACB = 105^\circ. Cosinussetningen gir
AB^2 = (\sqrt2)^2 + 1^2 - 2\cdot \sqrt2 \cdot 1 \cdot \cos 105^\circ = 3 - 2\sqrt2\cos 105^\circ.
Med \cos 105^\circ \approx -0{,}2588:
AB^2 \approx 3 + 0{,}732 = 3{,}732 \;\Longrightarrow\; AB \approx \boxed{1{,}932}.
b) I trekant ABD er \angle A = 45^\circ, \angle D = 60^\circ, så \angle B = 75^\circ. Med sinussetningen finner vi AD:
\frac{AD}{\sin B} = \frac{AB}{\sin D} \;\Longrightarrow\; AD = AB\cdot\frac{\sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 1{,}932 \cdot 1{,}115 \approx 2{,}155.
Arealet av ABD:
A = \tfrac12\,AB\cdot AD\cdot\sin A \approx \tfrac12 \cdot 1{,}932 \cdot 2{,}155 \cdot \sin 45^\circ \approx \boxed{1{,}47}.
Oppgave 3 (6 poeng)
Oppgave. Vipebestanden var ca. 9000 par i 2013 (x=0) og ca. 2500 par i 2022 (x=9). a) Lineær modell f (Tor). b) Eksponentiell modell g (Egil). c) Egil lager p (gjennom (0,7000) og (9,500)) og endrer den til q med horisontal asymptote y=2000. Forklar og bestem p(x) og q(x).
a) Lineær modell gjennom (0,9000) og (9,2500). Stigningstall \frac{2500-9000}{9} = -\frac{6500}{9} \approx -722:
\boxed{f(x) = -722x + 9000}.
Modellen sier at bestanden synker med ca. 722 par hvert år.
b) Eksponentiell modell g(x) = 9000\cdot k^x med g(9) = 2500:
k^9 = \frac{2500}{9000} = \frac{5}{18} \;\Longrightarrow\; k = \left(\tfrac{5}{18}\right)^{1/9} \approx 0{,}867.
\boxed{g(x) = 9000\cdot 0{,}867^{\,x}}.
Modellen sier at bestanden synker med ca. 13{,}3\,\% per år.
c) Modell p er eksponentiell gjennom (0,7000) og (9,500): p(x) = 7000\cdot c^x med c^9 = \frac{500}{7000} = \frac{1}{14}, altså c \approx 0{,}746:
p(x) = 7000\cdot 0{,}746^{\,x}.
For q antar Egil at verntiltak gjør at bestanden stabiliserer seg på et nivå (ca. 2000 par) i stedet for å gå mot null. Han løfter derfor den eksponentielle modellen opp med 2000 (horisontal asymptote y = 2000):
\boxed{p(x) = 7000\cdot 0{,}746^{\,x}, \qquad q(x) = 7000\cdot 0{,}746^{\,x} + 2000}.
Kontroll: q(0) = 9000 og q(9) = 500 + 2000 = 2500, i samsvar med grafen.
Oppgave 4 (3 poeng)
Oppgave. Figur n bygges av kuler og pinner. Figur 4 bruker 7 pinner og 12 kuler. Lag et program som regner ut hvor mange kuler og pinner som trengs til de 50 første figurene til sammen.
Mønster. Pinner i figur n: 1, 3, 5, 7,\dots = 2n - 1. Kuler i figur n: 0, 2, 6, 12,\dots = n(n-1) = n^2 - n.
Summene for de 50 første figurene:
\sum_{n=1}^{50}(2n-1) = 50^2 = 2500 \text{ pinner}, \qquad \sum_{n=1}^{50}(n^2-n) = \frac{50\cdot 51\cdot 101}{6} - \frac{50\cdot 51}{2} = 42925 - 1275 = 41650 \text{ kuler}.
Program (Python):
pinner = 0
kuler = 0
for n in range(1, 51):
pinner += 2 * n - 1
kuler += n * n - n
print("Pinner:", pinner) # 2500
print("Kuler: ", kuler) # 41650Program (C++):
#include <iostream>
int main() {
int pinner = 0, kuler = 0;
for (int n = 1; n <= 50; ++n) {
pinner += 2 * n - 1;
kuler += n * n - n;
}
std::cout << "Pinner: " << pinner << "\n"; // 2500
std::cout << "Kuler: " << kuler << "\n"; // 41650
return 0;
}\boxed{2500 \text{ pinner og } 41650 \text{ kuler}}
Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Kilde og fasit: matematikk.net. Ikke tilknyttet Utdanningsdirektoratet.