Matematikk 1T — Eksempel 2015

Løsningsforslag (Del 1 og Del 2) · MAT1013 · Eksempel 2015 · K06 · ✓ Sammenholdt m/ matematikk.net · Uoffisielt

Om dette løsningsforslaget. Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Oppgaveteksten er ikke gjengitt i sin helhet; hver oppgave vises med nummer og et kort sammendrag. Kilde: oppgaven og matematikk.net sitt løsningsforslag. Sluttsvar er sammenholdt med matematikk.net sin versjon — se den ved tvil.

DEL 1 — Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng)

Oppgave. a) Regn ut 8{,}20\cdot 10^9 \cdot 1{,}50\cdot 10^{-3} og skriv svaret på standardform. b) Skriv \dfrac{(a^2)^4\cdot\left(\frac{b}{a}\right)^2}{a^3\cdot b^{-2}} så enkelt som mulig.

a) Vi multipliserer tallene og legger sammen tierpotensene:

8{,}20\cdot 10^9 \cdot 1{,}50\cdot 10^{-3} = (8{,}20\cdot 1{,}50)\cdot 10^{9-3} = 12{,}3\cdot 10^{6}.

På standardform (ett siffer foran komma):

\boxed{1{,}23\cdot 10^{7}}

b) Vi bruker potensreglene. Telleren:

(a^2)^4 = a^8, \qquad \left(\frac{b}{a}\right)^2 = \frac{b^2}{a^2}, \qquad \text{teller} = a^8\cdot\frac{b^2}{a^2} = a^6 b^2.

Nevneren er a^3 b^{-2}. Da blir

\frac{a^6 b^2}{a^3 b^{-2}} = a^{6-3}\,b^{2-(-2)} = \boxed{a^3 b^4}.

Oppgave 2 (3 poeng)

Oppgave. a) Skriv (a+b)^2 - (a-b)^2 så enkelt som mulig. b) Faktoriser og forkort \dfrac{2x+6}{2x^2-18}.

a) Vi bruker kvadratsetningene:

(a+b)^2 - (a-b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = \boxed{4ab}.

b) Vi faktoriserer teller og nevner:

2x + 6 = 2(x+3), \qquad 2x^2 - 18 = 2(x^2 - 9) = 2(x-3)(x+3).

Da kan vi forkorte felles faktor 2(x+3):

\frac{2(x+3)}{2(x-3)(x+3)} = \boxed{\frac{1}{x-3}} \qquad (x \neq -3,\; x \neq 3).

Oppgave 3 (4 poeng)

Oppgave. g(x) = \tfrac13 x^3 - x^2 - 3x + 4, D_g = \mathbb{R}. a) Finn momentan vekstfart i x=1. b) Finn eventuelle topp- og bunnpunkter.

a) Momentan vekstfart er den deriverte:

g'(x) = x^2 - 2x - 3.

I x = 1:

g'(1) = 1 - 2 - 3 = \boxed{-4}.

b) Topp- og bunnpunkter finner vi der g'(x) = 0:

x^2 - 2x - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; (x-3)(x+1) = 0 \;\Longrightarrow\; x = -1 \;\text{eller}\; x = 3.

Vi bruker den andrederiverte g''(x) = 2x - 2 til å avgjøre type:

• x = -1: g''(-1) = -4 < 0 \Rightarrow toppunkt. \;g(-1) = -\tfrac13 - 1 + 3 + 4 = \tfrac{17}{3} \approx 5{,}7.
• x = 3: g''(3) = 4 > 0 \Rightarrow bunnpunkt. \;g(3) = 9 - 9 - 9 + 4 = -5.

\boxed{\text{Toppunkt } \left(-1,\;\tfrac{17}{3}\right), \qquad \text{bunnpunkt } (3,\,-5).}

Oppgave 4 (5 poeng)

Oppgave. a) En sirkel og et kvadrat har begge omkrets 16. Hvilken figur har størst areal? b) Arealet av et trapes er A = \dfrac{(a+b)}{2}\cdot h. Uttrykk h ved A, a og b. c) Et trapes har areal 18{,}0\text{ cm}^2, høyde 3{,}0 cm, og den ene parallelle siden er 2{,}0 cm lengre enn den andre. Finn lengdene av de parallelle sidene.

a) Kvadrat: omkrets 16 gir side \frac{16}{4} = 4, så areal = 4^2 = 16.

Sirkel: omkrets 2\pi r = 16 gir r = \frac{8}{\pi}. Areal:

\pi r^2 = \pi\left(\frac{8}{\pi}\right)^2 = \frac{64}{\pi} \approx 20{,}4.

Siden \frac{64}{\pi} \approx 20{,}4 > 16, har sirkelen størst areal.

\boxed{\text{Sirkelen har størst areal } \left(\tfrac{64}{\pi}\approx 20{,}4 \;\text{mot}\; 16\right).}

b) Vi løser formelen med hensyn på h:

A = \frac{(a+b)}{2}\cdot h \;\Longrightarrow\; \boxed{h = \frac{2A}{a+b}}.

c) La den korteste parallelle siden være a. Da er den andre a + 2. Med A = 18{,}0 og h = 3{,}0:

18 = \frac{a + (a+2)}{2}\cdot 3 = \frac{(2a+2)\cdot 3}{2} = 3(a+1).

Da er a + 1 = 6, altså a = 5. Den andre siden er a + 2 = 7.

\boxed{\text{De parallelle sidene er } 5{,}0\text{ cm og } 7{,}0\text{ cm.}}

Oppgave 5 (3 poeng)

Oppgave. a) Tegn en rettvinklet trekant ABC der \sin B = \tfrac{2}{5}. b) To trekanter er gitt i figuren: trekant ABC med sider 5 og 4 og mellomliggende vinkel 140^\circ, og trekant DEF med sider 5 og 4 og mellomliggende vinkel 30^\circ. Undersøk hvilken som har størst areal.

a) I en rettvinklet trekant er \sin B = \dfrac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}. Vi velger derfor en trekant med rett vinkel i (for eksempel) C, der

\text{motstående katet til } B = 2, \qquad \text{hypotenus} = 5.

Den siste kateten finnes med Pytagoras: \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{21}. Skissen blir en rettvinklet trekant med hypotenus 5, kateten motstående B lik 2 og den andre kateten \sqrt{21}\approx 4{,}58. (Alle trekanter formlike med denne er gyldige svar.)

b) Vi bruker arealformelen A = \tfrac12\,a\,b\,\sin V for begge trekantene. Begge har a\,b = 5\cdot 4 = 20, så det er bare sinusverdien til den mellomliggende vinkelen som skiller dem:

A_{ABC} = \tfrac12\cdot 5\cdot 4\cdot \sin 140^\circ = 10\sin 140^\circ \approx 6{,}43,

A_{DEF} = \tfrac12\cdot 5\cdot 4\cdot \sin 30^\circ = 10\cdot\tfrac12 = 5{,}00.

Siden \sin 140^\circ \approx 0{,}643 > \sin 30^\circ = 0{,}5, har

\boxed{\text{trekant } ABC \text{ størst areal } (\approx 6{,}43 \;\text{mot}\; 5{,}00).}

Oppgave 6 (4 poeng)

Oppgave. a) Finn likningen for den rette linjen gjennom (1,2) og (2,4). b) For f(x) = x^2 + 4, bruk definisjonen av den deriverte til å vise at f'(x) = 2x.

a) Stigningstallet er

a = \frac{4 - 2}{2 - 1} = 2.

Likningen y = 2x + b gjennom (1,2) gir 2 = 2\cdot 1 + b \Rightarrow b = 0. Altså

\boxed{y = 2x}.

b) Den deriverte ved grensedefinisjonen:

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}.

Vi regner ut telleren:

f(x+\Delta x) - f(x) = \big[(x+\Delta x)^2 + 4\big] - \big[x^2 + 4\big] = x^2 + 2x\,\Delta x + (\Delta x)^2 + 4 - x^2 - 4 = 2x\,\Delta x + (\Delta x)^2.

Setter inn og forkorter \Delta x:

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{2x\,\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\,(2x + \Delta x) = \boxed{2x}.

Oppgave 7 (4 poeng)

Oppgave. Siri har 2 brune, 2 røde, 2 blå, 2 hvite og 2 rosa sokker (10 til sammen). Hun tar tilfeldig to sokker. a) Sannsynligheten for to rosa sokker. b) Sannsynligheten for én rosa og én sokk med annen farge.

a) Det er \binom{10}{2} = 45 måter å trekke to sokker på. Antall måter å trekke begge de rosa er \binom{2}{2} = 1:

P(\text{to rosa}) = \frac{1}{45} \approx 0{,}022. \qquad \boxed{\tfrac{1}{45}}

Alternativt: P = \dfrac{2}{10}\cdot\dfrac{1}{9} = \dfrac{2}{90} = \dfrac{1}{45}.

b) Vi vil ha nøyaktig én rosa og én av en annen farge. Det er 2 rosa å velge blant og 8 ikke-rosa:

P(\text{1 rosa, 1 annen}) = \frac{\binom{2}{1}\binom{8}{1}}{\binom{10}{2}} = \frac{2\cdot 8}{45} = \frac{16}{45} \approx 0{,}356. \qquad \boxed{\tfrac{16}{45}}

Oppgave 8 (6 poeng)

Oppgave. a) Løs -\tfrac14 x + 2 = 2x - \tfrac52. b) Løs systemet x+y = 7, 3x - 2y = -4. c) Løs ulikheten -2x^2 + 9x + 5 \le 0.

a) Vi ganger hele likningen med 4 for å bli kvitt brøkene:

-x + 8 = 8x - 10 \;\Longrightarrow\; 8 + 10 = 8x + x \;\Longrightarrow\; 18 = 9x \;\Longrightarrow\; \boxed{x = 2}.

b) Fra den første likningen er y = 7 - x. Sett inn i den andre:

3x - 2(7 - x) = -4 \;\Longrightarrow\; 3x - 14 + 2x = -4 \;\Longrightarrow\; 5x = 10 \;\Longrightarrow\; x = 2.

Da er y = 7 - 2 = 5.

\boxed{x = 2,\quad y = 5}

c) Vi finner nullpunktene til -2x^2 + 9x + 5:

x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 40}}{-4} = \frac{-9 \pm 11}{-4} \;\Longrightarrow\; x = -\tfrac12 \;\text{eller}\; x = 5.

Parabelen åpner nedover (a = -2 < 0), så uttrykket er negativt (eller null) utenfor nullpunktene:

\boxed{\,x \le -\tfrac12 \quad \text{eller} \quad x \ge 5\,}

Oppgave 9 (2 poeng)

Oppgave. f(x) = 4x^2 + bx + c har bare ett nullpunkt, og grafen skjærer y-aksen i (0,1). Bestem b og c.

Løsning. At grafen skjærer y-aksen i (0,1) betyr f(0) = c = 1.

Ett nullpunkt betyr at diskriminanten er null:

b^2 - 4ac = 0 \;\Longrightarrow\; b^2 - 4\cdot 4\cdot 1 = 0 \;\Longrightarrow\; b^2 = 16 \;\Longrightarrow\; b = \pm 4.

\boxed{c = 1, \qquad b = 4 \;\text{eller}\; b = -4}

Begge gir et gyldig dobbeltnullpunkt: b = 4 gir nullpunkt i x = -\tfrac12, og b = -4 gir nullpunkt i x = \tfrac12.

Oppgave 10 (3 poeng)

Oppgave. \triangle PQM med P(0,x), Q(x,0), M(4,2) er innskrevet i \triangle AOB (A(0,4), O(0,0), B(8,0)). a) Vis at arealet er T(x) = -\tfrac12 x^2 + 3x, x \in [0,4]. b) Bestem x slik at arealet blir størst mulig.

a) Med hjørnene P(0,x), Q(x,0), M(4,2) bruker vi arealformelen (skolissemetoden):

T = \tfrac12\,\big|\,x_P(y_Q - y_M) + x_Q(y_M - y_P) + x_M(y_P - y_Q)\,\big|.

Setter inn P(0,x), Q(x,0), M(4,2):

T = \tfrac12\,\big|\,0\cdot(0 - 2) + x\cdot(2 - x) + 4\cdot(x - 0)\,\big| = \tfrac12\,\big|\,2x - x^2 + 4x\,\big| = \tfrac12\,\big|{-x^2 + 6x}\big|.

For x \in [0,4] er -x^2 + 6x = x(6 - x) \ge 0, så vi kan droppe tallverditegnet:

T(x) = \tfrac12(-x^2 + 6x) = \boxed{-\tfrac12 x^2 + 3x}.

b) Maksimum finner vi der T'(x) = 0:

T'(x) = -x + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 3.

Siden T''(x) = -1 < 0 er dette et toppunkt. Arealet blir da

T(3) = -\tfrac12\cdot 9 + 9 = \tfrac{9}{2} = 4{,}5.

\boxed{x = 3 \;\text{gir størst areal, } T(3) = 4{,}5.}

DEL 2 — Med hjelpemidler

Merk: Dette eksempelsettet inneholder med vilje flere CAS-oppgaver enn et ordinært sett, for å vise eksempler på bruk av digitale verktøy.

Oppgave 1 (4 poeng)

Oppgave. I \triangle ABC er \angle C = 90^\circ, og høyden fra C på AB er 6. Trekanten har omkrets 30. Sidene er a, b, c. a) Forklar likningssystemet a + b + c = 30, a^2 + b^2 = c^2, ab = 6c. b) Bruk CAS til å bestemme a, b, c.

a) Vi forklarer hver likning:

• a + b + c = 30: omkretsen er summen av de tre sidene.
• a^2 + b^2 = c^2: trekanten er rettvinklet i C, så c = AB er hypotenusen og Pytagoras gjelder.
• ab = 6c: arealet kan regnes på to måter. Med katetene a og b er A = \tfrac12 ab. Med grunnlinjen c = AB og høyden 6 er A = \tfrac12 c\cdot 6 = 3c. Setter vi disse like: \tfrac12 ab = 3c, altså ab = 6c.

b) Systemet løses i CAS (eller for hånd ved innsetting). Resultatet er

\boxed{a = 7{,}5,\quad b = 10,\quad c = 12{,}5}

(eller a = 10, b = 7{,}5 — sidene a og b er ombyttbare). Dette er en 3-4-5-trekant skalert med faktoren 2{,}5. Kontroll: 7{,}5 + 10 + 12{,}5 = 30, \;7{,}5^2 + 10^2 = 56{,}25 + 100 = 156{,}25 = 12{,}5^2, og 7{,}5\cdot 10 = 75 = 6\cdot 12{,}5. ✓

Oppgave 2 (4 poeng)

Oppgave. I en klasse er det 30 elever. 20 er fornøyde med matematikk­karakteren. 80\,\% av de fornøyde gjør lekser hver time; 10\,\% av de som ikke er fornøyde gjør også lekser hver time. a) Lag valgtre eller krysstabell. b) P(\text{en tilfeldig elev gjør lekser}). c) P(\text{fornøyd} \mid \text{gjør lekser}).

a) Vi regner ut antallet i hver gruppe:

• Fornøyde: 20. Av disse gjør 80\,\% \cdot 20 = 16 lekser, og 4 gjør ikke.
• Ikke fornøyde: 30 - 20 = 10. Av disse gjør 10\,\% \cdot 10 = 1 lekser, og 9 gjør ikke.

Krysstabell:

b) Totalt 16 + 1 = 17 elever gjør lekser hver time:

P(\text{lekser}) = \frac{17}{30} \approx 0{,}567 \approx 56{,}7\,\%. \qquad \boxed{\tfrac{17}{30}}

c) Av de 17 som gjør lekser er 16 fornøyde:

P(\text{fornøyd} \mid \text{lekser}) = \frac{16}{17} \approx 0{,}941 \approx 94{,}1\,\%. \qquad \boxed{\tfrac{16}{17}}

Oppgave 3 (2 poeng)

Oppgave. Et kartutsnitt viser en strekning AB. Det er målt AC = 40{,}0 m, \angle A = 69{,}7^\circ (vinkelen \angle CAB) og \angle C = 94{,}9^\circ (vinkelen \angle ACB). Bruk CAS til å bestemme avstanden fra A til B.

Løsning. I trekant ABC kjenner vi siden AC = 40{,}0 og to vinkler. Den tredje vinkelen er

\angle B = 180^\circ - 69{,}7^\circ - 94{,}9^\circ = 15{,}4^\circ.

Siden AB ligger motstående \angle C og AC ligger motstående \angle B, gir sinussetningen

\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \;\Longrightarrow\; AB = AC\cdot\frac{\sin 94{,}9^\circ}{\sin 15{,}4^\circ} = 40{,}0\cdot\frac{\sin 94{,}9^\circ}{\sin 15{,}4^\circ}.

AB \approx 40{,}0\cdot\frac{0{,}9963}{0{,}2656} \approx 150{,}1 \text{ m}.

\boxed{AB \approx 150 \text{ m}}

Oppgave 4 (2 poeng)

Oppgave. Tre trær danner en trekant med sider 14{,}0 m, 20{,}0 m og 24{,}0 m. Bruk CAS til å bestemme arealet.

Løsning. Vi bruker Herons formel. Halve omkretsen er

s = \frac{14 + 20 + 24}{2} = 29.

Arealet:

A = \sqrt{s(s-14)(s-20)(s-24)} = \sqrt{29\cdot 15\cdot 9\cdot 5} = \sqrt{19575} \approx 139{,}9 \text{ m}^2.

\boxed{A \approx 140 \text{ m}^2}

Oppgave 5 (3 poeng)

Oppgave. f(x) = \dfrac{10}{x^2} + 5, x > 0. A = (0,0), B ligger på x-aksen, C ligger på grafen til f, og \angle B = 90^\circ. Bruk CAS til å finne den eksakte x som gjør arealet av \triangle ABC minst mulig, og hvor stort arealet blir.

Løsning. Siden \angle B = 90^\circ og B ligger på x-aksen, ligger C rett over B. La B = (x, 0); da er C = (x, f(x)). De to katetene blir

AB = x \quad (\text{langs } x\text{-aksen}), \qquad BC = f(x) = \frac{10}{x^2} + 5.

Arealet av den rettvinklede trekanten:

T(x) = \tfrac12\,AB\cdot BC = \tfrac12\,x\left(\frac{10}{x^2} + 5\right) = \frac{5}{x} + \frac{5x}{2}.

Vi deriverer og setter lik null:

T'(x) = -\frac{5}{x^2} + \frac{5}{2} = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{5}{x^2} = \frac{5}{2} \;\Longrightarrow\; x^2 = 2 \;\Longrightarrow\; x = \sqrt{2}.

(Fortegnsskifte fra negativ til positiv \Rightarrow minimum.) Det minste arealet er

T(\sqrt2) = \frac{5}{\sqrt2} + \frac{5\sqrt2}{2} = \frac{5\sqrt2}{2} + \frac{5\sqrt2}{2} = 5\sqrt2 \approx 7{,}07.

\boxed{x = \sqrt{2}, \qquad T_{\min} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07.}

Oppgave 6 (6 poeng)

Oppgave. Folketallet i to bygder i perioden 2006–2014 (x = år etter 2006): A(x) = 0{,}54x^3 + 6{,}32x^2 + 33{,}8x + 1410, \qquad B(x) = -0{,}20x^3 - 5{,}32x^2 + 18{,}8x + 1693, \qquad x \in [0,8]. a) Bruk graftegner til å bestemme 1) når folketallet i bygd B var størst og hvor mange som bodde der da, 2) når folketallet var likt i bygdene, 3) når samlet folketall passerte 3500. b) Bruk CAS til å løse a)2). c) Løs a)1) ved derivasjon.

a) (graftegner). Vi tegner A(x) og B(x) og leser av:

1. Bygd B størst: B har toppunkt ved x \approx 1{,}6, der B \approx 1709. Det vil si rundt 2007–2008 med om lag 1700 innbyggere.
2. Likt folketall: grafene skjærer hverandre ved x \approx 3{,}9 (innenfor [0,8]), altså rundt 2010, da begge bygder hadde om lag 1670 innbyggere.
3. Samlet folketall passerer 3500: vi tegner S(x) = A(x) + B(x) og finner S(x) = 3500 ved x \approx 5{,}7. Samlet folketall passerte 3500 rundt 2011–2012. (Kontroll: S(0) \approx 3103, S(8) \approx 3762, så summen vokser og krysser 3500 én gang.)

b) (CAS) — løser a)2). Vi løser likningen A(x) = B(x):

0{,}54x^3 + 6{,}32x^2 + 33{,}8x + 1410 = -0{,}20x^3 - 5{,}32x^2 + 18{,}8x + 1693.

Samler alt på én side:

0{,}74x^3 + 11{,}64x^2 + 15x - 283 = 0.

CAS gir én løsning i intervallet [0,8]:

\boxed{x \approx 3{,}93 \;\text{(altså rundt år 2010)},\quad A \approx B \approx 1673.}

c) (derivasjon) — løser a)1). Vi deriverer B og setter lik null:

B'(x) = -0{,}60x^2 - 10{,}64x + 18{,}8 = 0.

abc-formelen gir

x = \frac{10{,}64 \pm \sqrt{10{,}64^2 + 4\cdot 0{,}60\cdot 18{,}8}}{2\cdot(-0{,}60)} = \frac{10{,}64 \pm \sqrt{158{,}3}}{-1{,}2}.

Den positive løsningen i [0,8] er x \approx 1{,}62. Siden B'' < 0 er dette et toppunkt. Folketallet er da

B(1{,}62) \approx 1709.

\boxed{x \approx 1{,}6 \;\text{(rundt 2007–2008)}, \quad B_{\max} \approx 1700 \text{ innbyggere.}}

Oppgave 7 (3 poeng)

Oppgave. Et vindu er satt sammen av et rektangel og en halvsirkel oppå (halvsirkelens diameter er rektangelets bredde). Vinduet har omkrets 8{,}0 m. Bestem radius r i halvsirkelen slik at arealet blir størst mulig, og finn dette arealet.

Løsning. La rektangelet ha bredde 2r (lik halvsirkelens diameter) og høyde h. Omkretsen til vinduet består av bunnen, de to sidene og halvsirkelbuen (diameteren er inni figuren og teller ikke):

O = 2r + 2h + \pi r = 8.

Løser vi for h:

h = \frac{8 - 2r - \pi r}{2} = 4 - r - \frac{\pi r}{2}.

Arealet er rektangel pluss halvsirkel:

A(r) = 2r\cdot h + \tfrac12\pi r^2 = 2r\left(4 - r - \frac{\pi r}{2}\right) + \tfrac12\pi r^2 = 8r - 2r^2 - \pi r^2 + \tfrac12\pi r^2 = 8r - 2r^2 - \tfrac{\pi}{2}r^2.

Vi deriverer og setter lik null:

A'(r) = 8 - 4r - \pi r = 0 \;\Longrightarrow\; r(4 + \pi) = 8 \;\Longrightarrow\; r = \frac{8}{4 + \pi} \approx 1{,}12 \text{ m}.

Siden A''(r) = -4 - \pi < 0 er dette et maksimum. Det største arealet er

A\!\left(\frac{8}{4+\pi}\right) = \frac{32}{4 + \pi} \approx 4{,}48 \text{ m}^2.

\boxed{r = \frac{8}{4+\pi} \approx 1{,}12 \text{ m}, \qquad A_{\max} = \frac{32}{4+\pi} \approx 4{,}48 \text{ m}^2.}

(Legg merke til at h = 4 - r - \tfrac{\pi}{2}r = r ved maksimum — den rette delen av vinduet er da like høy som radien.)

Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Kilde og fasit: matematikk.net. Ikke tilknyttet Utdanningsdirektoratet.