← Alle eksamener ⬇ Last ned PDF (klassisk LaTeX)

Matematikk 1T — Eksempelsett 3 (H2021)

Løsningsforslag (Del 1 og Del 2) · MAT1021 · Eksempelsett 3 (H2021) · LK20 · ✓ Sammenholdt m/ matematikk.net · Uoffisielt

Om dette løsningsforslaget. Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Oppgaveteksten er ikke gjengitt i sin helhet; hver oppgave vises med nummer og et kort sammendrag. Kilde: oppgaven og matematikk.net sitt løsningsforslag. Sluttsvar er sammenholdt med matematikk.net sin versjon — se den ved tvil.

DEL 1 — Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (Lindesnes fyr, temperatur)

Oppgave. Grafen viser temperaturen ved Lindesnes fyr x timer etter midnatt. a) Vis hvordan du kan regne ut stigningstallet til den rette linjen gjennom punktene (4,\,4{,}7) og (14,\,7{,}3). b) Gi en praktisk tolkning av stigningstallet.

a) Stigningstallet til en rett linje gjennom to punkter (x_1,y_1) og (x_2,y_2) er

a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7{,}3 - 4{,}7}{14 - 4} = \frac{2{,}6}{10} = \boxed{0{,}26}.

b) x måles i timer og y i grader celsius. Stigningstallet 0{,}26 betyr at temperaturen i gjennomsnitt øker med 0{,}26\ ^\circ\text{C} per time i tidsrommet fra x=4 til x=14 (altså fra klokka 04 til klokka 14).

Oppgave 2 (rettvinklet trekant)

Oppgave. I en rettvinklet trekant ABC er AC den lengste siden, AB = 4 og \tan \angle A = 1. Bestem BC.

Løsning. Siden AC er den lengste siden, er AC hypotenusen, og den rette vinkelen ligger i B. Da er AB og BC kateter, og

\tan \angle A = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}} = \frac{BC}{AB}.

Med \tan \angle A = 1 får vi

\frac{BC}{4} = 1 \;\Longrightarrow\; \boxed{BC = 4}.

(Trekanten er likebeint og rettvinklet, med \angle A = \angle C = 45^\circ.)

Oppgave 3 (ulikhet, to strategier)

Oppgave. Vis to ulike strategier for å løse ulikheten x^2 - 4 < 2x - 1.

Klargjøring. Vi samler alt på venstre side:

x^2 - 4 < 2x - 1 \;\Longrightarrow\; x^2 - 2x - 3 < 0.

Nullpunktene til x^2 - 2x - 3 er

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \;\Longrightarrow\; x = -1 \;\text{eller}\; x = 3.

Strategi 1 — algebraisk (fortegnsskjema). Vi faktoriserer f(x) = x^2 - 2x - 3 = (x+1)(x-3) og setter opp fortegnsskjema for faktorene:

x<-1 -1<x<3 x>3
x+1 - + +
x-3 - - +
produkt + - +

Produktet er negativt kun for -1 < x < 3.

Strategi 2 — grafisk. Vi tegner y_1 = x^2 - 4 (parabel) og y_2 = 2x - 1 (rett linje) i samme koordinatsystem. Ulikheten x^2 - 4 < 2x - 1 spør hvor parabelen ligger lavere enn linjen. De skjærer hverandre der x^2 - 4 = 2x - 1, altså i x = -1 og x = 3. Mellom disse skjæringspunktene ligger parabelen under linjen, så ulikheten er oppfylt for -1 < x < 3.

Begge strategier gir

\boxed{\,-1 < x < 3\,}

Oppgave 4 (tredjegradslikning)

Oppgave. Løs likningen x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0.

Løsning. Vi faktoriserer ved å gruppere:

x^3 - 3x^2 - x + 3 = x^2(x-3) - 1(x-3) = (x-3)(x^2 - 1) = (x-3)(x-1)(x+1).

Produktet er null når én av faktorene er null:

\boxed{\,x \in \{-1,\; 1,\; 3\}\,}

Oppgave 5 (programmering — andregradslikning)

Oppgave. Malin har skrevet starten på et program for andregradslikninger med a=1, b=2, c=1 og diskriminanten d = b^2 - 4ac. a) Hva bør hun skrive i linjene 8, 10 og 12 (etter if d < 0:, elif d == 0: og else:)? b) Forklar hva som skjer når programmet kjøres.

a) I de tre grenene skal hun skrive ut en passende melding om antall løsninger. Diskriminanten avgjør hvor mange reelle løsninger andregradslikningen har:

a = 1
b = 2
c = 1

d = b ** 2 - 4 * a * c

if d < 0:
    print("Likningen har ingen løsning.")
elif d == 0:
    print("Likningen har én løsning.")
else:
    print("Likningen har to løsninger.")

Samme program i C++:

#include <iostream>
int main() {
    int a = 1, b = 2, c = 1;
    int d = b * b - 4 * a * c;
    if (d < 0)
        std::cout << "Likningen har ingen losning.\n";
    else if (d == 0)
        std::cout << "Likningen har en losning.\n";   // d = 0 her
    else
        std::cout << "Likningen har to losninger.\n";
    return 0;
}

b) Med a=1, b=2, c=1 blir

d = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0.

Siden d = 0, hopper programmet til elif d == 0:-grenen og skriver ut

\boxed{\text{«Likningen har én løsning.»}}

Dette stemmer: x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = 0 har den ene (dobbelte) løsningen x = -1.

Oppgave 6 (eksakt verdi for \sin 30^\circ)

Oppgave. Bruk en likesidet trekant (med sider a) til å bestemme en eksakt verdi for \sin 30^\circ.

Løsning. I en likesidet trekant er alle vinkler 60^\circ. Vi trekker høyden fra toppen ned på grunnlinjen. Høyden

Vi får en rettvinklet trekant med hypotenus a (en av sidene i den likesidete trekanten) og kateten \dfrac{a}{2} motstående vinkelen 30^\circ:

\sin 30^\circ = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{a/2}{a} = \boxed{\tfrac12}.

Oppgave 7 (andregradsfunksjon og forskyvning)

Oppgave. Grafen viser f. a) Begrunn ut fra grafen at f(x) = x^2 + 4x + 3. Grafen forskyves slik at bunnpunktet blir (-4,\,1), og vi får g. b) Bestem g(x).

a) Vi avleser to ting fra grafen:

Med a=1 blir f(x) = (x+3)(x+1) = x^2 + 4x + 3, og f(0) = 3 stemmer. Bunnpunktet ligger i x = -\frac{4}{2} = -2 med f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = -1, altså (-2,-1) — i samsvar med grafen.

\boxed{f(x) = x^2 + 4x + 3}

b) g har samme form (a=1), men nytt bunnpunkt (-4,\,1). På toppunkts-/bunnpunktsform:

g(x) = (x - (-4))^2 + 1 = (x+4)^2 + 1.

Utvider vi:

g(x) = x^2 + 8x + 16 + 1 = \boxed{\,x^2 + 8x + 17\,}.

DEL 2 — Med hjelpemidler

Oppgave 1 (identitet, fullstendig kvadrat)

Oppgave. Bestem r, s og t slik at 4x^2 + 16x + r = (sx + t)^2 blir en identitet.

Løsning. Utvid høyresiden:

(sx + t)^2 = s^2 x^2 + 2st\,x + t^2.

Sammenlign med 4x^2 + 16x + r ledd for ledd:

\boxed{r = 16,\quad s = 2,\quad t = 4}

Kontroll: (2x + 4)^2 = 4x^2 + 16x + 16. ✓

Oppgave 2 (kvadrat — eksakt sidekant)

Oppgave. I et kvadrat er diagonalen én enhet lengre enn sidekanten. Bestem den eksakte lengden til sidekanten.

Løsning. La sidekanten være x. Diagonalen i et kvadrat er x\sqrt2 (Pytagoras: \sqrt{x^2 + x^2}). Vilkåret «diagonalen er én enhet lengre enn sidekanten» gir

x\sqrt2 = x + 1.

Vi løser for x:

x\sqrt2 - x = 1 \;\Longrightarrow\; x(\sqrt2 - 1) = 1 \;\Longrightarrow\; x = \frac{1}{\sqrt2 - 1}.

Rasjonaliser nevneren ved å multiplisere med \sqrt2 + 1:

x = \frac{1}{\sqrt2 - 1}\cdot\frac{\sqrt2 + 1}{\sqrt2 + 1} = \frac{\sqrt2 + 1}{2 - 1} = \boxed{\,\sqrt2 + 1\,}.

(Tilnærmet x \approx 2{,}41 enheter.)

Oppgave 3 (programmering — nullpunkter ved fortegnsskifte)

Oppgave. Monica har et program der f(x) = x^2 - 2, og en while-løkke går fra a = -2 med steg e = 0{,}01 og skriver ut «Jeg har funnet et nullpunkt.» hver gang f(a)\cdot f(a+e) \le 0. a) Forklar og begrunn resultatet når programmet kjøres. b) Utvid programmet slik at det skriver ut tilnærmede nullpunkter med fire desimalers nøyaktighet.

a) Funksjonen f(x) = x^2 - 2 har nullpunktene x = \pm\sqrt2 \approx \pm 1{,}4142. Produktet f(a)\cdot f(a+e) er negativt (eller null) nettopp når f skifter fortegn mellom a og a+e — altså når det ligger et nullpunkt i intervallet [a,\,a+e].

Løkka teller a oppover fra -2 til (men ikke med) 2, og passerer begge nullpunktene -\sqrt2 og \sqrt2 (begge ligger i (-2,\,2)). Derfor blir teksten «Jeg har funnet et nullpunkt.» skrevet ut to ganger — én gang nær x = -\sqrt2 og én gang nær x = \sqrt2. Programmet sier at det finnes nullpunkter, men ikke hvor de er.

b) Vi forteller hvor nullpunktet er ved å skrive ut midtpunktet a + \tfrac{e}{2} i intervallet der fortegnet skifter, og setter steglengden liten (e = 0{,}0001) for fire desimalers nøyaktighet:

def f(x):
    return x ** 2 - 2          # Definerer funksjonen f(x) = x^2 - 2

a = -2
e = 0.0001

while a < 2:
    if f(a) * f(a + e) <= 0:
        print(f"Nullpunkt nær x = {a + e/2:.4f}")
    a = a + e

# Utskrift:
# Nullpunkt nær x = -1.4143
# Nullpunkt nær x = 1.4142

Samme program i C++:

#include <iostream>
#include <iomanip>
double f(double x) { return x * x - 2; }   // f(x) = x^2 - 2
int main() {
    double a = -2, e = 0.0001;
    while (a < 2) {
        if (f(a) * f(a + e) <= 0)
            std::cout << "Nullpunkt naer x = "
                      << std::fixed << std::setprecision(4)
                      << a + e / 2 << "\n";
        a = a + e;
    }
    return 0;
}
// Utskrift:
// Nullpunkt naer x = -1.4143
// Nullpunkt naer x = 1.4142

\boxed{x \approx -1{,}4143 \quad \text{og} \quad x \approx 1{,}4142 \;\;(\,\approx \pm\sqrt2\,)}

Oppgave 4 (tangenter parallelle med en linje)

Oppgave. f(x) = x^3 - x - 1. Grafen har to tangenter som er parallelle med linjen y = \tfrac12 x + 2. Bestem en eksakt verdi for nullpunktet (skjæringen med x-aksen) til hver av disse tangentene.

Løsning. Parallelle linjer har samme stigningstall, så tangentene har stigningstall \tfrac12. Vi finner berøringspunktene ved å løse f'(x) = \tfrac12:

f'(x) = 3x^2 - 1 = \tfrac12 \;\Longrightarrow\; 3x^2 = \tfrac32 \;\Longrightarrow\; x^2 = \tfrac12 \;\Longrightarrow\; x = \pm\frac{1}{\sqrt2} = \pm\frac{\sqrt2}{2}.

Berøringspunktene (med f(x) = x^3 - x - 1):

f\!\left(\tfrac{\sqrt2}{2}\right) = \frac{2\sqrt2}{8} - \frac{\sqrt2}{2} - 1 = \frac{\sqrt2}{4} - \frac{2\sqrt2}{4} - 1 = -\frac{\sqrt2}{4} - 1,

f\!\left(-\tfrac{\sqrt2}{2}\right) = \frac{\sqrt2}{4} - 1 \quad (\text{ved symmetri, motsatt fortegn på } x^3 \text{ og } x).

Tangentlinjene har formen y = \tfrac12(x - x_0) + f(x_0). Vi regner ut og forenkler hver av dem:

Nullpunktene finner vi ved å sette y = 0 i hver tangentlikning og løse for x:

Tangent 1 (x_0 = \tfrac{\sqrt2}{2}): \;\tfrac12 x - \tfrac{\sqrt2}{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \sqrt2 + 2.

Tangent 2 (x_0 = -\tfrac{\sqrt2}{2}): \;\tfrac12 x + \tfrac{\sqrt2}{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = 2 - \sqrt2.

\boxed{x = 2 + \sqrt2 \quad \text{og} \quad x = 2 - \sqrt2}

(Tilnærmet x \approx 3{,}41 og x \approx 0{,}59.)

Kontrollert med CAS (sympy): berøringspunktene x_0 = \pm\tfrac{\sqrt2}{2}, tangentene y = \tfrac12 x - 1 \mp \tfrac{\sqrt2}{2}, og nullpunktene 2 \pm \sqrt2.

Oppgave 5 (modellering — avkjøling av blåbærgelé)

Oppgave. En blåbærgelé kjøles i et rom på 20\ ^\circ\text{C}. Tabellen gir temperaturen x minutter etter avkjølingsstart. Stine lager en ny tabell med (Temperatur - 20). a) Lag en modell T(x) = a\cdot b^x + 20. b) Hvilket gyldighetsområde kan modellen ha?

a) Når vi trekker fra romtemperaturen 20, blir overtemperaturen T(x) - 20 = a\cdot b^x en ren eksponentialfunksjon. Vi gjør eksponentiell regresjon på den nye tabellen (par (x,\,\text{Temperatur}-20) med x = 4, 8, 16, \dots, 90). Med digitalt verktøy (regresjon) får vi

a \approx 75{,}05, \qquad b \approx 0{,}985.

\boxed{T(x) = 75{,}05 \cdot 0{,}985^{\,x} + 20}

Modellen passer svært godt; for eksempel gir den T(20) \approx 75{,}4 og T(90) \approx 39{,}2, i samsvar med tabellen. Faktoren b \approx 0{,}985 betyr at overtemperaturen synker med ca. 1{,}5\,\% per minutt.

b) Modellen gjelder fra avkjølingen starter, altså for x \ge 0. Den har ingen øvre tidsgrense matematisk (den nærmer seg 20\ ^\circ\text{C}, som er fysisk riktig — geléen kan ikke bli kaldere enn rommet). Et rimelig gyldighetsområde er derfor

\boxed{x \ge 0 \text{ (minutter)}},

i praksis fra start til geléen i praksis har nådd romtemperatur. Modellen bør ikke brukes for x < 0 (før avkjølingen begynte), og den gir aldri temperatur under 20\ ^\circ\text{C}.

Oppgave 6 (derivert ut fra tangenter i graf)

Oppgave. Figuren viser grafen til en tredjegradsfunksjon f sammen med tangenter i tre punkter (to vannrette tangenter og én bratt synkende). Bruk tangentene til å bestemme et uttrykk for f'.

Avlesning fra grafen.

Bestemmelse av f'. f er en tredjegradsfunksjon, så f' er en andregradsfunksjon. De to vannrette tangentene gir nullpunktene x = -1 og x = 1 til f':

f'(x) = k\,(x+1)(x-1) = k\,(x^2 - 1).

Vi bruker f'(0) = -3 til å finne k:

f'(0) = k(0 - 1) = -k = -3 \;\Longrightarrow\; k = 3.

\boxed{f'(x) = 3x^2 - 3}

(Da er f(x) = x^3 - 3x + 4, med toppunkt (-1,6), bunnpunkt (1,2) og vendepunkt (0,4) — i samsvar med figuren.)

Oppgave 7 (programmering — fyrstikkfigurer)

Oppgave. Figur n er et n\times n-rutenett av små kvadrater laget av fyrstikker (figur 1: 1 kvadrat, figur 2: 4 kvadrater, figur 3: 9 kvadrater). Du har 10\,000 fyrstikker og lager én figur i hver størrelse etter samme mønster. a) Hvor mange figurer kan du lage? b) Hvor mange fyrstikker har du igjen etter den siste?

Mønster. I et n\times n-rutenett er det (n+1) vannrette linjer med n fyrstikker hver, og (n+1) loddrette linjer med n fyrstikker hver:

F(n) = 2\,n(n+1).

Kontroll: F(1) = 4, F(2) = 12, F(3) = 24 — stemmer med figurene.

Antall fyrstikker brukt på de N første figurene til sammen:

S(N) = \sum_{n=1}^{N} 2n(n+1) = \frac{2N(N+1)(N+2)}{3}.

Vi lager figurer så lenge vi har nok fyrstikker. Det enkleste er et program som legger til figurer til lageret tar slutt:

total = 10000
brukt = 0
n = 0
while brukt + 2 * (n + 1) * (n + 2) <= total:
    n += 1
    brukt += 2 * n * (n + 1)
print("Antall figurer:", n)     # 23
print("Fyrstikker brukt:", brukt)   # 9200
print("Fyrstikker igjen:", total - brukt)  # 800

Samme program i C++:

#include <iostream>
int main() {
    int total = 10000, brukt = 0, n = 0;
    while (brukt + 2 * (n + 1) * (n + 2) <= total) {
        n += 1;
        brukt += 2 * n * (n + 1);
    }
    std::cout << "Antall figurer: " << n << "\n";          // 23
    std::cout << "Fyrstikker brukt: " << brukt << "\n";    // 9200
    std::cout << "Fyrstikker igjen: " << total - brukt << "\n"; // 800
    return 0;
}

a) Programmet gir at vi kan lage de \boxed{23} første figurene (figur 24 ville krevd 2\cdot 24\cdot 25 = 1200 til, men vi har bare 800 igjen).

b) Brukt: S(23) = \dfrac{2\cdot 23\cdot 24\cdot 25}{3} = 9200 fyrstikker. Igjen:

10\,000 - 9200 = \boxed{800 \text{ fyrstikker}}.

Merk (avvik fra matematikk.net-fasiten). Fasiten hos matematikk.net oppgir «70 figurer» og «60 fyrstikker til overs». Det stemmer ikke med oppgaveteksten: «figur 2 består av fire små kvadrater» er et 2\times2-rutenett, som krever 12 fyrstikker (ikke 8) — det indre korset utgjør 4 av dem. Riktig formel er derfor F(n)=2n(n+1) (med F(1)=4,\,F(2)=12,\,F(3)=24, i samsvar med figurene), som gir 23 figurer og 800 fyrstikker til overs. Fasitens 70/60 svarer til den feilaktige formelen F(n)=4n.

Oppgave 8 (utforsking — helningsvinkel med skistaver)

Oppgave. Snøskredskolen (varsom.no) beskriver en metode for å anslå helningsvinkelen i terrenget med to skistaver: legg én stav i fallretningen (avtrykk = stavlengden), reis den opp i øvre kant, hold den andre staven loddrett (i lodd) inntil den berører snøen, og merk hvor den treffer avtrykket. Tommelfingerregelen: «treffer den nederst i avtrykket → 30^\circ; for hver 10 cm utenfor/innenfor legges til/trekkes fra 3^\circ». Skistaver er typisk 1{,}0–1{,}4 m. Bruk trigonometri og lag en systematisk oversikt over hvor nøyaktig metoden er.

Dette er den åpne, utforskende oppgaven. Jeg stiller spørsmålet: Hvor godt stemmer tommelfingerregelen «3^\circ per 10 cm» med den eksakte vinkelen, og hva betyr stavlengden?

Geometrisk modell. La L være stavlengden (cm). Vi modellerer forenklet ved å bruke den nedlagte staven (lengde L) som hosliggende katet, mens den loddrette staven måler den loddrette forskyvningen d cm i forhold til referansepunktet. (En helt nøyaktig modell må ta hensyn til at avtrykket ligger langs skråningen og ikke vannrett; jeg kommer tilbake til dette forbeholdet til slutt.) Med denne modellen tilfredsstiller den eksakte helningsvinkelen v

\tan v = \frac{d}{L}.

Referansen er kalibrert slik at vinkelen er 30^\circ når staven treffer nederst i avtrykket, altså ved d_0 = L\tan 30^\circ. En forskyvning på +\Delta cm (nedenfor avtrykket) gir da

v_{\text{eksakt}} = \arctan\!\left(\frac{L\tan 30^\circ + \Delta}{L}\right),

mens tommelfingerregelen sier

v_{\text{regel}} = 30^\circ + 3^\circ\cdot\frac{\Delta}{10\,\text{cm}}.

Systematisk oversikt (eksakt vinkel, med regelens verdi i parentes, for tre vanlige stavlengder):

Forskyvning \Delta L = 100 cm L = 120 cm L = 140 cm
-20 cm 20{,}7^\circ\ (24^\circ) 22{,}3^\circ\ (24^\circ) 23{,}5^\circ\ (24^\circ)
-10 cm 25{,}5^\circ\ (27^\circ) 26{,}3^\circ\ (27^\circ) 26{,}8^\circ\ (27^\circ)
0 cm 30{,}0^\circ\ (30^\circ) 30{,}0^\circ\ (30^\circ) 30{,}0^\circ\ (30^\circ)
+10 cm 34{,}1^\circ\ (33^\circ) 33{,}5^\circ\ (33^\circ) 33{,}0^\circ\ (33^\circ)
+20 cm 37{,}9^\circ\ (36^\circ) 36{,}6^\circ\ (36^\circ) 35{,}8^\circ\ (36^\circ)

Vurdering av gyldighet.

\boxed{\text{Regelen er god nær } 30^\circ \text{ og for lange staver } (\sim 140\text{ cm}: \text{avvik} < 1^\circ \text{ ved } \pm 20\text{ cm}); \text{ den blir mer unøyaktig for korte staver og store helninger.}}

Forbehold: Den eksakte tallverdien avhenger av hvordan man tolker oppsettet (hvilken stav som er hosliggende, og om forskyvningen måles langs snøen eller vannrett). Konklusjonen er likevel robust: regelen er en lineær tilnærming som er nøyaktig ved 30^\circ, blir bedre med lengre staver, og dårligere langt fra 30^\circ.

Uoffisielt, automatisk generert løsningsforslag. Kilde og fasit: matematikk.net. Ikke tilknyttet Utdanningsdirektoratet.